komplexes Wegintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Do 15.10.2009 | | Autor: | Jorgi |
Guten Tag,
ich habe mich folgendes gefragt.
Gegeben zwei Wege [mm] $\gamma_1 [/mm] : [a, b] [mm] \longrightarrow \mathbb{C}$, $\gamma_2 [/mm] : [c, d] [mm] \longrightarrow \mathbb{C}$, [/mm] wobei $a,b,c,d [mm] \in \mathbb{R}$.
[/mm]
Wenn ich nun zusätzlich voraussetze, dass [mm] $\gamma_1([a, [/mm] b]) = [mm] \gamma_2([c, [/mm] d])$ gilt und dass [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] die selbe Richtung haben, kann ich daraus bereits schliessen, dass für ein stetiges $f$ die Wegintegrale längs dieser Wege gleich sind, dass also gilt :
[mm] $\int_{\gamma_1} [/mm] f [mm] d\zeta [/mm] = [mm] \int_{\gamma_2} [/mm] f [mm] d\zeta.$
[/mm]
Kurz: Wege mit gleicher Spur und Richtung liefern dasselbe Wegintegral.
In Beispielen die ich gerechnet habe war es tatsächlich so, nur weiß ich nicht warum das stets gelten sollte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Do 15.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Guten Tag,
>
> ich habe mich folgendes gefragt.
> Gegeben zwei Wege [mm]\gamma_1 : [a, b] \longrightarrow \mathbb{C}[/mm],
> [mm]\gamma_2 : [c, d] \longrightarrow \mathbb{C}[/mm], wobei [mm]a,b,c,d \in \mathbb{R}[/mm].
>
> Wenn ich nun zusätzlich voraussetze, dass [mm]\gamma_1([a, b]) = \gamma_2([c, d])[/mm]
> gilt und dass [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] die selbe Richtung
> haben, kann ich daraus bereits schliessen, dass für ein
> stetiges [mm]f[/mm] die Wegintegrale längs dieser Wege gleich sind,
> dass also gilt :
>
> [mm]\int_{\gamma_1} f d\zeta = \int_{\gamma_2} f d\zeta.[/mm]
>
> Kurz: Wege mit gleicher Spur und Richtung liefern dasselbe
> Wegintegral.
Nicht ganz. Bei geschlossenen Wegen macht es einen Unterschied, wie oft die Spur durchlaufen wird. Wenn [mm] $\gamma_1$ [/mm] einen Kreis einmal durchläuft, [mm] $\gamma_2$ [/mm] den Kreis aber zweimal, so ist das zweite Integral doppelt so gross wie das erste.
> In Beispielen die ich gerechnet habe war es tatsächlich
> so, nur weiß ich nicht warum das stets gelten sollte.
Das folgt direkt aus der Definition des Wegintegrals. Wenn [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] denselben Weg bezeichnen, gibt es eine stetig diff'bare Bijektion [mm] $\varphi:[a,b]\to [/mm] [a,b]$, sodass [mm] $\gamma_1(t) [/mm] = [mm] \gamma_2(\varphi(t))$. [/mm] Mit der Definition und Substitution [mm] $s=\varphi(t)$ [/mm] ist
[mm] \int_{\gamma_1} f d\zeta = \int_a^b f(\gamma_1(t)) \gamma_1'(t) dt = \int_a^b f(\gamma_2(\varphi(t)) * \gamma_2(\varphi(t)) * \varphi'(t) dt = \int_a^b f(\gamma_2(s)) \gamma_2'(s) ds = \int_{\gamma_2} f d\zeta[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 15.10.2009 | | Autor: | Jorgi |
Hi, erst einmal danke für die schnelle Antwort.
Wenn ich mir nun eine nicht-geschlossene Kurve in der Ebene vorstelle, und diese auf zwei Weisen parametrisiere, einmal mit
[mm] $\gamma_1 [/mm] : [a, [mm] b]\longrightarrow \mathbb{C}$ [/mm] und das andere mal mit [mm] $\gamma_2 [/mm] : [c, d] [mm] \longrightarrow \mathbb{C}$. [/mm]
Die beiden Parametrisierungen müssen erst einmal nichts miteinander zu tun haben, ausser dass sie die selbe Kurve in gleicher Richtung durchlaufen.
Wie kann ich dann auf die Existenz einer stetig diffabaren Funktion [mm] $\varphi [/mm] : [a, b] [mm] \longrightarrow [/mm] [c, d]$ mit $ [mm] \gamma_2 \circ \varphi [/mm] = [mm] \gamma_1$ [/mm] schliessen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 15.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi, erst einmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Wenn ich mir nun eine nicht-geschlossene Kurve in der Ebene
> vorstelle, und diese auf zwei Weisen parametrisiere, einmal
> mit
> [mm]\gamma_1 : [a, b]\longrightarrow \mathbb{C}[/mm] und das andere
> mal mit [mm]\gamma_2 : [c, d] \longrightarrow \mathbb{C}[/mm].
>
> Die beiden Parametrisierungen müssen erst einmal nichts
> miteinander zu tun haben, ausser dass sie die selbe Kurve
> in gleicher Richtung durchlaufen.
>
> Wie kann ich dann auf die Existenz einer stetig diffabaren
> Funktion [mm]\varphi : [a, b] \longrightarrow [c, d][/mm] mit
> [mm]\gamma_2 \circ \varphi = \gamma_1[/mm] schliessen ?
Wie wäre es mit [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \gamma_2^{-1}\circ \gamma_1$ [/mm] ? [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] sind ja injektiv.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Jorgi |
Müssen denn [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] wirklich injektiv sein ?
Könnte es nicht sein, dass die Wege ne kurze Zeit konstant werden, auf der Stelle treten, und dann später wieder losgehen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Fr 16.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Müssen denn [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] wirklich injektiv sein
> ?
Nein. Und i.a. wird auch nicht
$ [mm] \int_{\gamma_1} [/mm] f [mm] d\zeta [/mm] = [mm] \int_{\gamma_2} [/mm] f [mm] d\zeta. [/mm] $
gelten
FRED
> Könnte es nicht sein, dass die Wege ne kurze Zeit
> konstant werden, auf der Stelle treten, und dann später
> wieder losgehen ?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:22 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Jorgi |
Kennst du vielleicht ein Beispiel, wo zwei verschiedene Parametrisierungen [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] die gleiche Kurve beschreiben (nicht geschlossen und in gleicher Richtung verlaufend) aber zwei verschieden Wegintegrale liefern, sprich
$ [mm] \int_{\gamma_1} [/mm] f [mm] d\zeta \not= \int_{\gamma_2} [/mm] f [mm] d\zeta [/mm] $ gilt, mit irgendeiner Funktion $f$.
Das würde mich sehr beruhigen.
Gruß Jorgi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 19.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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