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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Sa 02.09.2006 | | Autor: | stefy |
| Aufgabe | vllt nerv ich euch mit meinen fragen ich hätte da nämlich noch eine frage und eine aufgabe die mir seit tagen kopfschmerzen bereiten . und zwar
1. was bedeutet das??
f ( [mm] z_{0} [/mm] ) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f ( [mm] \overline{z_{0}} [/mm] ) = 0
= o [mm] =\overline{0}
[/mm]
= [mm] \overline{f ( z_{0} )}
[/mm]
= [mm] \overline{\summe_{k=0}^{n}a_{k}z_{0}^{k}}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\overline{a_{k}z_{0}^{k}}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\overline{a_{k}}\overline{z_{0}^{k}}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n}a_{k}z_{0}^{k}
[/mm]
= f ( [mm] \overline{z_{0}} [/mm] )
ich würde gerne verstehen bzw. beantwortet haben, erstens was zum beispiel die konjugierte imaginäre zahl einer imaginären zahl z ist ( soweit ich verstanden habe soll z für eine imaginäre zahl stehen ) und zweitens würde ich gerne verstehen, wie er das konjugationszeichen kleinschrittig auf die koeffizienten bringen konnte , geht der prof. da nach regeln vor denn dann kenn ich sie nicht !!!! ich hoffe ihr könnt mir helfen
danke im voraus eure stefy
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und ich hab hier sehr schwere ( für mich ) aufgaben wo es um die berechnung :
1. Berechne alle ganzzahligen Potenzen von i
2. Gib zu folgenden Quotienten z von komplexen zahlen Re ( z ), Im ( z ), r , [mm] \overline{z}, [/mm] und den winkel [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1 + i}
[/mm]
[mm] \bruch{1 + i}{1 - i}
[/mm]
3. Löse [mm] x^{4}= [/mm] - 1 in [mm] \IC [/mm]
ich wär euch echt sehr dankbar wenn ihr mir meine ganzen fragen beantworten könntet wirklich
im voraus schon danke für all eure mühe und hilfe eure stefy
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Hallo und guten Morgen,
es ist für [mm] a+b\cdot i\in\IC.\:\: a,b\in\IR [/mm]
ja [mm] \overline{a+b\cdot i}\: :=\: a-b\cdot [/mm] i
Nun rechnest Du leicht nach, dass dann allgemein für [mm] x,y\in\IC [/mm] gilt: [mm] \overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y} [/mm] und
[mm] \overline{x\cdot y}=\overline{x}\cdot \overline{y}
[/mm]
(zB wenn Du [mm] x=a+b\cdot i,\: y=c+d\cdot [/mm] i ansetzt).
[mm] f(z)=0\:\rightarrow [/mm] f(overline{z})=0 heisst dann, dass Du zu jeder Nullstelle [mm] z\in\IC [/mm] von f eine weitere Nullstelle bei [mm] \overline{z} [/mm] hast - wenn Du
den [mm] \IC [/mm] mit dem [mm] \IR^2 [/mm] identifizierst, so entspricht das Konjugieren dem Spiegeln an der x-Achse.
Wenn Du zB Polynome [mm] f(x)=\sum_{j=0}^na_j\cdot x^j [/mm] mit Koeffizienten [mm] a_j\in\IR [/mm] betrachtest, so gilt ja [mm] \overline{a_j}=a_j, [/mm] und damit haben solche f die
obige Eigenschaft (siehe die von Dir zitierte Rechnung).
Noch eine Rechnung exemplarisch zu den weiteren von Dir gestellten Fragen:
Es ist
[mm] \frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1+i}{1^2-i^2}=\frac{1+i}{1^2-(-1)}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot [/mm] i.
Frohes Schaffen wünscht
Mathias
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