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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 16.11.2008 | | Autor: | Newcool |
| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie alle 3 komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^3=1 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie alle 3 komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^3 [/mm] = -1 |
| Aufgabe 3 | | Es seien und r>0 und [mm] \phi [/mm] reelle Zahlen. Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm] z^3=r*e^i\phi [/mm] |
| Aufgabe 4 | | Es sei n>=2 eine natürliche Zahl und es seien r>0 und [mm] \phi [/mm] reelle Zahlen. Bestimmen Sie alle n komplexen Lösungen [mm] w_1,w_2,...,w_n [/mm] der Gleichung [mm] z^n =r*e^i\phi [/mm] und spezialisieren Sie Ihre Ausdrücke für [mm] w_k [/mm] auf die Fälle(Gleichungen) [mm] z^n [/mm] =-1, [mm] z^n=r [/mm] und [mm] z^n=-r [/mm] |
Hallo Ihr,
Und zwar haben wir die oben genannten Aufgaben bekommen, und ich verstehe teilweise nicht was ich tun soll =) besser gesagt versteh ich im moment gar nichts xD.
Kennt Ihr zufällig ein paar Internet-Seiten auf denen dieses Thema erklärt wird oder könnt ihr mir ein paar Tipps geben wie ich diese Aufgaben anfangen muss ?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
MFG
Newcool
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Hallo Newcool,
> Bestimmen Sie alle 3 komplexen Lösungen der Gleichung
> [mm]z^3=1[/mm]
> Bestimmen Sie alle 3 komplexen Lösungen der Gleichung [mm]z^3[/mm]
> = -1
> Es seien und r>0 und [mm]\phi[/mm] reelle Zahlen. Bestimmen Sie
> alle komplexen Lösungen der Gleichung [mm]z^3=r*e^i\phi[/mm]
> Es sei n>=2 eine natürliche Zahl und es seien r>0 und [mm]\phi[/mm]
> reelle Zahlen. Bestimmen Sie alle n komplexen Lösungen
> [mm]w_1,w_2,...,w_n[/mm] der Gleichung [mm]z^n =r*e^i\phi[/mm] und
> spezialisieren Sie Ihre Ausdrücke für [mm]w_k[/mm] auf die
> Fälle(Gleichungen) [mm]z^n[/mm] =-1, [mm]z^n=r[/mm] und [mm]z^n=-r[/mm]
> Hallo Ihr,
>
> Und zwar haben wir die oben genannten Aufgaben bekommen,
> und ich verstehe teilweise nicht was ich tun soll =) besser
> gesagt versteh ich im moment gar nichts xD.
>
> Kennt Ihr zufällig ein paar Internet-Seiten auf denen
> dieses Thema erklärt wird oder könnt ihr mir ein paar Tipps
> geben wie ich diese Aufgaben anfangen muss ?
Eine Lösung der Gleichung
[mm]z^{3}=1[/mm]
bzw.
[mm]z^{3}=-1[/mm]
ist sofort ersichtlich.
Um die restlichen 2 Lösungen zu ermitteln, wird eine Polynomdivison durchgeführt.
[mm]\left(z^{3}-c\right):\left(z-z_{0}\right)= z^{2}+ \ \dots [/mm]
, wobei hier [mm]c \in \left{-1,1\right}[/mm]
und [mm]z_{0}[/mm] eine Lösung von [mm]z^{3}-c=0[/mm] ist.
>
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
>
> MFG
> Newcool
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 16.11.2008 | | Autor: | Newcool |
Oke in dem Fall wäre das dann so (wenn man es erweitern würde)
erstmal müsste ich die 1 rüber holen:
[mm] z^3-1 [/mm] = 0
dann sozusagen ums ausführlicher hinzuschreiben daraus das machen:
[mm] z^3+0z^2+0z-1 [/mm] = 0
anschließend Polynomdivision wobei dann:
[mm] z^2+z+1 [/mm]
rauskommt.
Dadurch kann ich nun mit der mitternachtsformel folgendendes machen:
x1 = 0,8
x2 = 2,1
oder hab ich mich jezt irgendwie vertan ?
Gruß und danke für die hilfe.
Newcool
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Hallo Newcool,
> Oke in dem Fall wäre das dann so (wenn man es erweitern
> würde)
>
> erstmal müsste ich die 1 rüber holen:
>
> [mm]z^3-1[/mm] = 0
>
> dann sozusagen ums ausführlicher hinzuschreiben daraus das
> machen:
>
> [mm]z^3+0z^2+0z-1[/mm] = 0
>
> anschließend Polynomdivision wobei dann:
>
> [mm]z^2+z+1[/mm]
>
> rauskommt.
>
> Dadurch kann ich nun mit der mitternachtsformel
> folgendendes machen:
>
> x1 = 0,8
> x2 = 2,1
>
> oder hab ich mich jezt irgendwie vertan ?
>
Da hast Dich jetzt irgendwie vertan.
Es müssen hier komplexe Lösungen herauskommen.
>
> Gruß und danke für die hilfe.
>
> Newcool
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 16.11.2008 | | Autor: | Newcool |
Hey dank dir,
oke ich schreib jetzt einfach mal den Lösungsweg hin =)
also das mit
[mm] z^3 [/mm] - 1 = 0
stimmt ja denke ich oder ?
oke daraus bau ich mir jetzt meine Polynomdivision auf.
[mm] (z^3 [/mm] + [mm] 0z^2 [/mm] + 0z - 1) : (z-1) = [mm] z^2 [/mm]
[mm] -(z^3 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] )
[mm] (z^2 [/mm] +0z - 1) : (z-1) = [mm] z^2 [/mm] +1z
[mm] -(z^2 [/mm] -1z)
[mm] (1z-1):(z-1)=z^2+1z+1
[/mm]
-(z-1)
=0
also hab ich ja [mm] z^2+1z+1 [/mm] rausbekommen
so nun muss man ja mitternachtsformel anwendern oder irre ich mich da ?
also [mm] ax^2 [/mm] + bx + c
und die mitternachtsformel ist ja:
[mm] x_1|2 [/mm] = (-b +- [mm] \wurzel{b^2 -4*a*c})/2a
[/mm]
also setze ich ein:
[mm] x_1|2 [/mm] = (-1 +- [mm] \wurzel{1^2 -4*1*1})/2*1
[/mm]
daraus folgt:
[mm] x_1|2 [/mm] = (-1 +- [mm] \wurzel{1 -4})/2
[/mm]
und ergibt dann:
[mm] x_1|2 [/mm] = (-1 +- [mm] \wurzel{-3})/2
[/mm]
oke und wie muss ich dann hier weiter machen ?
Gruß Newcool
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Hallo Newcool,
> Hey dank dir,
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> oke ich schreib jetzt einfach mal den Lösungsweg hin =)
>
> also das mit
>
> [mm]z^3[/mm] - 1 = 0
>
> stimmt ja denke ich oder ?
>
> oke daraus bau ich mir jetzt meine Polynomdivision auf.
>
> [mm](z^3[/mm] + [mm]0z^2[/mm] + 0z - 1) : (z-1) = [mm]z^2[/mm]
> [mm]-(z^3[/mm] - [mm]z^2[/mm] )
>
> [mm](z^2[/mm] +0z - 1) : (z-1) = [mm]z^2[/mm] +1z
> [mm]-(z^2[/mm] -1z)
>
> [mm](1z-1):(z-1)=z^2+1z+1[/mm]
> -(z-1)
>
> =0
>
> also hab ich ja [mm]z^2+1z+1[/mm] rausbekommen
>
> so nun muss man ja mitternachtsformel anwendern oder irre
> ich mich da ?
>
> also [mm]ax^2[/mm] + bx + c
>
> und die mitternachtsformel ist ja:
> [mm]x_1|2[/mm] = (-b +- [mm]\wurzel{b^2 -4*a*c})/2a[/mm]
>
> also setze ich ein:
>
> [mm]x_1|2[/mm] = (-1 +- [mm]\wurzel{1^2 -4*1*1})/2*1[/mm]
>
> daraus folgt:
>
> [mm]x_1|2[/mm] = (-1 +- [mm]\wurzel{1 -4})/2[/mm]
>
> und ergibt dann:
>
> [mm]x_1|2[/mm] = (-1 +- [mm]\wurzel{-3})/2[/mm]
>
> oke und wie muss ich dann hier weiter machen ?
Die Lösungen ergeben sich zu:
[mm]x_{1,2}=\bruch{-1 \pm \wurzel{-3}}{2}=\bruch{-1 \pm i*\wurzel{3}}{2}=- \bruch{1}{2} \pm i*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
Somit hast Du alle Lösungen der Gleichung
[mm]z^{3}=1[/mm] gefunden:
[mm]z_{0}=1[/mm]
[mm]z_{1}=- \bruch{1}{2} - i*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
[mm]z_{2}=- \bruch{1}{2} + i*\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> Gruß Newcool
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 16.11.2008 | | Autor: | Newcool |
Oke dank dir das hab ich dann jetzt verstanden =) xD kann mir das sicher merken =)
also wäre es bei aufgabe 3 dann folgendermaßen:
[mm] z^3 [/mm] = 8
ergibt [mm] z^3 [/mm] - 8
dadurch lässt sich dann [mm] z^2 [/mm] +2z-4 berechnen
welches ich durch polynomdivision in
[mm] z_1 [/mm] = -1 + i* [mm] \wurzel{20}/2
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = -1 - i* [mm] \wurzel{20}/2
[/mm]
umwandel
aber was ist [mm] z_0 [/mm] ?
Gruß Newcool
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Hallo Newcool,
> Oke dank dir das hab ich dann jetzt verstanden =) xD kann
> mir das sicher merken =)
>
> also wäre es bei aufgabe 3 dann folgendermaßen:
>
> [mm]z^3[/mm] = 8
>
> ergibt [mm]z^3[/mm] - 8
Hmm. Aufgabe 3 lautet doch ganz anders: [mm]z^{3}=r*e^{i*\varphi}[/mm]
>
> dadurch lässt sich dann [mm]z^2[/mm] +2z-4 berechnen
>
> welches ich durch polynomdivision in
>
> [mm]z_1[/mm] = -1 + i* [mm]\wurzel{20}/2[/mm]
>
> [mm]z_2[/mm] = -1 - i* [mm]\wurzel{20}/2[/mm]
>
> umwandel
>
> aber was ist [mm]z_0[/mm] ?
Welche Lösung hast Du als erstes herausgefunden?
>
> Gruß Newcool
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Newcool |
| Aufgabe | | Es sei n>= 2 eine Natürliche Zahl und es seien r>0 und [mm] \phi [/mm] reelle Zahlen. Bestimmen Sie alle n komplexen Lösungen [mm] w_1, w_2,... w_3 [/mm] der Gleichung [mm] z^n [/mm] = [mm] r*e^i\phi [/mm] und spezialisieren Sie ihre Ausdrücke für [mm] w_k [/mm] für die Fälle (Gleichungen) [mm] z^n [/mm] = -1, [mm] z^n [/mm] = r und [mm] z^n [/mm] = -r |
Hallo zusammen,
könnte mir noch jemand bei dieser Aufgabe helfen.
Vielen Dank schonmal,
Gruß Newcool
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Hallo Newcool,
> Es sei n>= 2 eine Natürliche Zahl und es seien r>0 und [mm]\phi[/mm]
> reelle Zahlen. Bestimmen Sie alle n komplexen Lösungen [mm]w_1, w_2,... w_3[/mm]
> der Gleichung [mm]z^n[/mm] = [mm]r*e^i\phi[/mm] und spezialisieren Sie ihre
> Ausdrücke für [mm]w_k[/mm] für die Fälle (Gleichungen) [mm]z^n[/mm] = -1, [mm]z^n[/mm]
> = r und [mm]z^n[/mm] = -r
> Hallo zusammen,
>
> könnte mir noch jemand bei dieser Aufgabe helfen.
>
Beachte hier die Periodizität der Exponentialfunktion im Komplexen.
>
> Vielen Dank schonmal,
>
> Gruß Newcool
Gruß
MathePower
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