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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 04.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Untersuche die nachfolgenden Folgen [mm] (x_{n}) [/mm] auf Konvergenz.
(a) [mm] x_{n}=(\bruch{1}{n},0,(-1)^{n}\bruch{1}{n});
[/mm]
(b) = [mm] (\bruch{(n+5)^{19}}{(n^{2}+3n+1)^{11}} [/mm] , [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}, [/mm] 1-7/m);
(c) [mm] x_{n}=(\bruch{i^{n}}{n},(-1)^{n}-(-1)^{n+1});
[/mm]
(d) [mm] x_{n} [/mm] = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). |
Hallo,
was man unter einer Konvergenz versteht , weiss ich. Jedoch , was man unter einer Komponentenweisenkonvergenz versteht, weiss ich nicht.
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
SG
Igor
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> Untersuche die nachfolgenden Folgen [mm](x_{n})[/mm] auf
> Konvergenz.
> (a) [mm]x_{n}=(\bruch{1}{n},0,(-1)^{n}\bruch{1}{n});[/mm]
> (b) = [mm](\bruch{(n+5)^{19}}{(n^{2}+3n+1)^{11}}[/mm] ,
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n},[/mm] 1-7/m);
> (c) [mm]x_{n}=(\bruch{i^{n}}{n},(-1)^{n}-(-1)^{n+1});[/mm]
> (d) [mm]x_{n}[/mm] = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
> Hallo,
> was man unter einer Konvergenz versteht , weiss ich.
> Jedoch , was man unter einer Komponentenweisenkonvergenz
> versteht, weiss ich nicht.
>
> Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Die Komponenten von [mm] $(\bruch{1}{n},0,(-1)^{n}\bruch{1}{n})$ [/mm] sind: dessen erste Komponente [mm] $\bruch{1}{n}$, [/mm] dessen zweite Komponente $0$ und dessen dritte Komponente [mm] $(-1)^{n}\bruch{1}{n}$. [/mm] Manche sprechen in einem solchen Fall auch von den "Koordinaten" (eines Vektors) statt von seinen "Komponenten".
Für die Lösung dieser Aufgaben ist der Satz zentral, dass eine Folge im [mm] $\IR^n$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn alle ihre "Komponentenfolgen" (auch: "Koordinatenfolgen")konvergieren. Und ihr Grenzwert ist in diesem Falle gleich dem Vektor, dessen Komponenten die Grenzwerte der Komponentenfolgen sind.
Die Komponentenfolgen sind, anders formuliert, einfach die Projektionen einer Folge im Vektorraum [mm] $\IR^n$ [/mm] auf dessen $n$ Koordinatenräume.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 04.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Somebody,
für (a) habe ich : konvergiert, da alle Komponenten konvergieren gegen 0.
für (b) : die esrte Komponente konvergiert gegen 0, die zweite gegen e, die dritte ist eine Konstante , die gegen sich selbst konvergiert =>konvergiert.
(c) : erste gegen 0 ( wenn ich mich nicht irre  ), zweite divergiert => divergiert.
(d) die Folge ist nicht unendlich => nicht konvergiert
Ist das richtig ?
SG
Igor
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> Hallo Somebody,
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> für (a) habe ich : konvergiert, da alle Komponenten
> konvergieren gegen 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für (b) : die esrte Komponente konvergiert gegen 0, die
> zweite gegen e,
die dritte ist eine Konstante , die gegen
> sich selbst konvergiert =>konvergiert.
Die dritte konvergiert gegen 1, da der Bruch gegen 0 konvergiert.
> (c) : erste gegen 0 ( wenn ich mich nicht irre ),
> zweite divergiert => divergiert.
> (d) die Folge ist nicht unendlich => nicht konvergiert
Die 1. Komponente ist immer 0, konvergiert also gegen 0.
Die 2. Komponente ist immer 1, konvergiert also gegen 1.
...
Die 10. Komponente ist immer 9, konvergiert also gegen 9.
>
>
> Ist das richtig ?
>
> SG
>
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 04.11.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
bei (b) ist die Folgen von m abhängig ( nicht von n !), zählt man diese Komponente auch als Folge oder ist das nur eine Konstante?
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Hallo Igor,
das $m$ ist beliebig, aber fest.
Es läuft nur das $n$, das [mm] $7-\frac{1}{m}$ [/mm] ist also eine Konstante
Gruß
schachuzipus
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Habe das m für einen Schreibfehler gehalten; natürlich ist es eine Konstante.
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