konforme Abbildung auch in 3D? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com
Hallo,
ich würde gerne mal wissen, ob man die konforme Abbildung auch üder die Zweidimensionalität hinaus steigern kann. In der Literatur zur konformen Abbildung ist hier so gut wie nichts zu finden.
Grundproblem ist meiner Ansicht die Tatsache, dass in der konformen Abbildungen komplexe Zahlen benutzt werden. Dort haben wir nur 2 Veränderliche, den Real- und den Imaginärteil. Den einzigen Hinweis, dass es evtl. doch auf die Dreidimensionalität übertragbar ist, habe ich bei W.v.Koppenfels "Praxis der konformen Abbildung" gefunden. Hier wird vorgeschlagen, dass zur Berechnung der konformen Abbildung im drei- und mehrdimensionalen Raum anstelle von komplexen Zahlen Quaternionen eingesetzt werden. Diese bieten insgesamt 4 Variable. Allerdings gilt bei Quaternionen kein kommutatives Gesetz, was die Berechnungen dann vermutlich deutlich aufwendiger machen würde.
Weiß hier jemand genaueres?
Danke im Voraus.
Johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Sa 20.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Konforme Abbildungen von [mm] $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ [/mm] auf sich
sind genau die Möbiustransformationen. Die Möbiustransformationen
lassen sich auf [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] übertragen und daher wird man als
konforme Abbildung auf jeden Fall eine Einschränkung einer Möbiustransformation verstehen. Ob es hier weitere Konzepte gibt, weiss
ich nicht. Auf jeden Fall ist man ja in der Kategorie der rellen Räume
und hier muss man Konformität als Winkeltreuheit, etc. auffassen, aber
nicht als Lösung irgendwelcher Cauchy-Riemann Gleichungen.
Natürlich gibt es aber im mehrdimensionalen komplexen konforme Abbildungen. Das sind einfach biholomorphe Abbildungen
zwischen zwei komplexen Mannigfaltigkeiten.
Gruss topotyp
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