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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:54 Di 06.11.2007 | | Autor: | bobby |
hallo!
ich habe mit dieser aufgabe ein großes problem:
zeige, dass die gleichung [mm] 7x^{3}+2=y^{3} [/mm] keine ganzzahlige Lösung hat.
ich weis, dass man das über kongruenzen bzw modulo-rechnen lösen kann, aber nicht so recht wie ich da rangehen kann, denn bisher hab ich sowas nur ohne potenzen und auch nur mit einer variablen machen müssen...
vielleicht kann mir da ja jemand weiterhelfen???
vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Di 06.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich habe mit dieser aufgabe ein großes problem:
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> zeige, dass die gleichung [mm]7x^{3}+2=y^{3}[/mm] keine ganzzahlige
> Lösung hat.
>
> ich weis, dass man das über kongruenzen bzw modulo-rechnen
> lösen kann, aber nicht so recht wie ich da rangehen kann,
> denn bisher hab ich sowas nur ohne potenzen und auch nur
> mit einer variablen machen müssen...
Der modulo-Ansatz ist schon mal sehr gut. aber modulo was? Welche Zahlen kommen vor? 2, 3 und 7, das sind die Kandidaten. Mit diesen kann ich die Gl. in eine Kongruenz umwandeln und erhalte notwendige Bedingungen für x und y. Bei einer dieser Zahlen kann ich (du hoffentlich auch) das zum Widerspruch führen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> vielleicht kann mir da ja jemand weiterhelfen???
> vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 06.11.2007 | | Autor: | bobby |
ok, dann würde ich modulo 7 wählen, denn wenn ich die gleichung umstelle erhalte ich [mm] y^{3}-2=7x^{3} [/mm] und das gibt dann [mm] y^{3}-2 \equiv [/mm] 0 (mod 7) , dann stell ich wieder um [mm] y^{3} \equiv [/mm] 2 (mod 7) dann kann ich sagen: y [mm] \in [/mm] {0,1,2,3,4,5,6}, also [mm] y^{3} \in [/mm] {0,1,6} daraus ist ersichtlich, dass es kein y mod 7 gibt, so dass die kongruenz erfüllt ist und damit gibt es auch keine ganzzahlige lösung für die gleichung...
kommt das so in etwa hin? würde das so reichen, oder muss man das auch für x nochmal einzeln zeigen? obwohl es für y doch eigentlich auch reicht, denn selbst wenn x ganzzahlig wäre, y ist es ja dennoch nicht... 
vielen dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:20 Mi 07.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ok, dann würde ich modulo 7 wählen, denn wenn ich die
> gleichung umstelle erhalte ich [mm]y^{3}-2=7x^{3}[/mm] und das gibt
> dann [mm]y^{3}-2 \equiv[/mm] 0 (mod 7) , dann stell ich wieder um
> [mm]y^{3} \equiv[/mm] 2 (mod 7) dann kann ich sagen: y [mm]\in[/mm]
> {0,1,2,3,4,5,6}, also [mm]y^{3} \in[/mm] {0,1,6} daraus ist
> ersichtlich, dass es kein y mod 7 gibt, so dass die
> kongruenz erfüllt ist und damit gibt es auch keine
> ganzzahlige lösung für die gleichung...
Perfekt, es war mir ein Vergnügen!
Bis zum nächsten Mal
Dieter
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