konjugierte 6x6 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:07 Mi 02.07.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Seien A, B nxn-Matrizen über K, deren char. Polynome über K vollständig zerfallen. Es sei
[mm] i)\chi_A=\chi_B [/mm] , ii) [mm] \mu_A=\mu_B, [/mm] iii) [mm] def(A)=def(B)\forall \lambda\in [/mm] K.
a) ZZ: ist n <=6, so sind A und B konjugiert in [mm] M_n(K)
[/mm]
b) für n=7 sei ein gegenbeispiel zu geben. |
hallo, hätte auch nicht gedacht so schnell wieder ein post zumachen ^^
für a hätt ich gedacht:
konjugiert bedeutet ja in dem fall, wenn A*=B
für nichtkomplexe körper sag ich ma gilt logischerweise A=B.
das char. polynom zerfällt vollständig, also
[mm] \chi_A(x)=(x-\lambda_1)*...\*(x-\lambda_n)=\chi_B(x)
[/mm]
mit den 3 bedingungen würde mir jetzt nach intensiver berechnung des letzten postings die jordanform einfallen, nur hätte ich dann kein plan, wie ich damit argumentieren kann...
ist konjugiert zu einander ähnlich zu "ähnlich in [mm] M_n(K)" [/mm] ?
falls ja, kann man dann nicht die gleichen erkenntnisse, die hier https://matheraum.de/read?t=424779 bei dem posting "ähnliche 5x5 matrizen" sind, einfach auf 6x6 matrizen anwenden?
dann bei b) eben nur ein gegenbeispiel finden, sodass das eben nicht klappt....
oder seh ich das falsch?
lieben gruß und tschüss
eumel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mi 02.07.2008 | | Autor: | eumel |
hier kommt es doch im prinzip auf die anzahl der eigenwerte an oder?
zerfällt das char.pol. vollst. in lin.fakt. so ist ja die länge von jedem jordanblock 1 und die jordanform von der matrix wär doch dann [mm] J=diag(\lambda_1 [/mm] .... [mm] \lambda_n) [/mm] oder?
andernfalls müsste man doch dann wieder die jordanform aus den informationen von
- geg. char.pol.
- mi-po
- defekt zu jedem eigenwert
aufbauen oder seh ich das falsch?
nur zu 7 fällt mir partout kein gegenbeispiel ein...
man brauch ja im prinzip nur 2 7x7 matrizen, wo [mm] \chi_{A,B},\mu_{A,B} [/mm] und [mm] def(\lambda_1*E-A), ...,def(\lambda_r*E-A), [/mm] 1<=r<=n übereinstimmen, aber eben eine ganz unterschiedliche Jordanform herauskommt....
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Im Prinzip stimmt das man muss sich halt immer wieder die JNF bauen. Bzw. im falle wenn alle Eigenwerte ungleich sind gehts mitm Invariantenteiler weil dann das MiPo gleich dem Char.Pol. ist (wegen gleicher Nullstellen im Char.Pol. und MiPo). Dann ist [mm] c_A(n) [/mm] = [mm] \chi_A [/mm] und ähnlichkeit folgt aus der gleichheit der Invariantenteiler. Wenn zwei EW gleich sind gehts damit auch noch dann muss mit JNF argumentieren. Das gibt ziemlich viele Fallunterscheidungen... aber das meiste ist analog. Ein Gegenbeispiel ist: [mm] \lambda_1 [/mm] = ... = [mm] \lambda_7 [/mm] =: [mm] \lambda [/mm] . DAnn ist MiPo [mm] (X-\lambda)^r [/mm] . Setze r=3 . Sei 3=dim [mm] V(\lambda, [/mm] A) . Dann kann die JNF entweder aus zwei 3x3 und einem 1x1 Kästchen bestehen (sagen wir A) und JNF(B) dann aus einem 3x3 und zwei 2x2 . => nicht ähnlich
mfG Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Do 03.07.2008 | | Autor: | eumel |
ich hab das jetzt so gemacht:
für alle n=1,2,..,6 die fälle:
-1 EW + 1EV, 1 EW + 2EV,....,1EW+ n EV
- 2 "
.
.
-n EW
die jeweiligen jordanmatrizen aufgeschrieben und dann im schlusssatz das geschrieben:
da eben für n <=6 die jordanblöcke eindeutig bestimmt sind bis auf permutation sind A und B dann folglich ähnlich/konjugiert.
hftl reichte das aus....
schönen abend
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