konstruierte Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 19.10.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe | | Seien a,b [mm] \in\IN [/mm] und [mm] b^{a}-1 [/mm] eine Primzahl. Zeigen Sie, dass b=2 gilt, falls a>0. |
Ich glaube ich habe die Aufgabenstellung nicht verstanden.
Man soll zeigen, dass b=2 sein muss, wenn a>0, weil sonst [mm] b^{a}-1 [/mm] keine Primzahl ist.
Allerdings kann ich b=2, a=4 wählen und dann ist [mm] b^{a}-1=15 [/mm] und keine Primzahl.
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> Seien a,b [mm]\in\IN[/mm] und [mm]b^{a}-1[/mm] eine Primzahl. Zeigen Sie,
> dass b=2 gilt, falls a>0.
> Ich glaube ich habe die Aufgabenstellung nicht
> verstanden.
> Man soll zeigen, dass b=2 sein muss, wenn a>0, weil sonst
> [mm]b^{a}-1[/mm] keine Primzahl ist.
> Allerdings kann ich b=2, a=4 wählen und dann ist
> [mm]b^{a}-1=15[/mm] und keine Primzahl.
Dies ist auch kein Gegenbeispiel zu der Aussage !
Es wird gar nicht behauptet, dass [mm] b^{a}-1 [/mm] mit b=2,
also [mm] 2^{a}-1 [/mm] stets eine Primzahl sei.
Um ein Gegenbeispiel zu suchen, müsstest du
nach einer Basis [mm] b\in\IN [/mm] mit [mm] b\not=2 [/mm] und einer
natürlichen Zahl a suchen so dass [mm] b^{a}-1 [/mm] eine
Primzahl ist.
Geh also mal auf die Suche. Wenn du dann zur
Einsicht kommen solltest, dass es zumindest
schwer ist, ein solches Zahlenpaar (a,b) zu finden,
kannst du den Spiess umdrehen und versuchen
zu zeigen, dass dies eben nicht möglich ist.
Damit hättest du einen Beweis der Behauptung
durch Widerspruch.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Mi 21.10.2009 | | Autor: | bolzen |
Erstmal kann b keine Ungerade Zahl sein, denn dann wäre [mm] b^{a} [/mm] ungerade und somit [mm] b^{a}-1 [/mm] gerade und deshalb keine Primzahl. Fehlt nur noch die andere Hälfte.
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> Seien a,b [mm]\in\IN[/mm] und [mm]b^{a}-1[/mm] eine Primzahl. Zeigen Sie,
> dass b=2 gilt, falls a>0.
Hallo nochmal,
ich möchte noch die Bemerkung anfügen, dass die
Überschrift "konstruierte Primzahl" des Threads
eigentlich nicht angebracht ist. Es handelt sich hier
keineswegs um eine Methode, "Primzahlen zu
konstruieren", sondern um eine Aussage über eine
gewisse Eigenschaft im Zusammenhang mit Prim-
zahlen.
Für einen möglichen Zugang zur Lösung kann ich
dir aber noch einen Hinweis geben. Betrachte
(und prüfe) einmal die Formeln:
$\ [mm] b^1-1\ [/mm] =\ (b-1)*(1)$
$\ [mm] b^2-1\ [/mm] =\ (b-1)*(b+1)$
$\ [mm] b^3-1\ [/mm] =\ [mm] (b-1)*(b^2+b+1)$
[/mm]
$\ [mm] b^4-1\ [/mm] =\ [mm] (b-1)*(b^3+b^2+b+1)$
[/mm]
LG
Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 21.10.2009 | | Autor: | bolzen |
> Für einen möglichen Zugang zur Lösung kann ich
> dir aber noch einen Hinweis geben. Betrachte
> (und prüfe) einmal die Formeln:
>
> [mm]\ b^1-1\ =\ (b-1)*(1)[/mm]
>
> [mm]\ b^2-1\ =\ (b-1)*(b+1)[/mm]
>
> [mm]\ b^3-1\ =\ (b-1)*(b^2+b+1)[/mm]
>
> [mm]\ b^4-1\ =\ (b-1)*(b^3+b^2+b+1)[/mm]
>
>
[mm] b^{a}-1 [/mm] ist also immer durch b-1 teilbar, d.h. b darf nur 2 sein, sonst ist es keine Primzahl mehr. Wäre b zB 3 wäre die [mm] b^{a} [/mm] auch durch 2 teilbar und das geht nicht.
Ist das so korrekt?
Danke für deine Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Für einen möglichen Zugang zur Lösung kann ich
> > dir aber noch einen Hinweis geben. Betrachte
> > (und prüfe) einmal die Formeln:
> >
> > [mm]\ b^1-1\ =\ (b-1)*(1)[/mm]
> >
> > [mm]\ b^2-1\ =\ (b-1)*(b+1)[/mm]
> >
> > [mm]\ b^3-1\ =\ (b-1)*(b^2+b+1)[/mm]
> >
> > [mm]\ b^4-1\ =\ (b-1)*(b^3+b^2+b+1)[/mm]
>
> [mm]b^{a}-1[/mm] ist also immer durch b-1 teilbar, d.h. b darf nur 2
> sein, sonst ist es keine Primzahl mehr.
Genau. Aber dieses Argument zieht nur, wenn $a > 0$ ist.
> Wäre b zB 3 wäre
> die [mm]b^{a}[/mm] auch durch 2 teilbar und das geht nicht.
> Ist das so korrekt?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Felix!
> Aber dieses Argument zieht nur, wenn [mm]a > 0[/mm] ist.
Siehe oben in der Aufgabenstellung. Es gilt (u.a.): $a \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] .
Damit sollte auch Deine Bedingung erfüllt sein.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Loddar,
> > Aber dieses Argument zieht nur, wenn [mm]a > 0[/mm] ist.
>
> Siehe oben in der Aufgabenstellung. Es gilt (u.a.): [mm]a \ \in \ \IN[/mm]
ich weiss wohl, das war eher ein Hinweis an den Fragesteller darauf zu achten (falls er es nicht getan hat).
LG Felix
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