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| Aufgabe | | prüfen sie per vollständige Induktion die Konvergenz der folgenden Zahlenfolge: [mm] a(n+1)=\wurzel{(2+a(n))} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
so, ich habe das ganze angefangen, mit ia n=1 und a(1)<a(2)
dann ivor n=k a(k)<a(k+1)
ibeh n=k+1
ibew a(k+1)<a(k+2)
dann eingesetzt:
[mm] \wurzel{2+a(k)}<\wurzel{2+\wurzel{2+a(k)}}
[/mm]
wenn man das weiter umformen will, bring ich es nur auf ungleichungen in wo a(k) dan in 4.potenz vorkommt. kann mir jemand bitte helfen, also kann r jemand die umformungsschritte dazwischen verraten, ich probiere es jetzt schon 2 stunden und ich glaube fast mit einer expliziten wäre ich schon fertig.
MEINE FRAGE: Kann Mir bitte jemand die Umformungsschritte dazwischen sagen oder mir einen sehr großen tipp geben?? DANKE!
man muss der logik nach, da der gw, wie sich mit anderem beweis beweisen lässt auf den grenzwert 2 kommen, also muss dastehen a(k)<2!!!!
danke, schon im vorraus
stef
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> prüfen sie per vollständige Induktion die Konvergenz der
> folgenden Zahlenfolge: [mm]a(n+1)=\wurzel{(2+a(n))}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich gehe davon aus, daß Du per Induktion die Monotonie der Folge zeigen möchtest, anschließend die Beschränktheit, und hieraus dann auf die Konvergenz schließen willst. Falls Du das so planst, ist es gut, weil richtig.
Deine Folge hast Du leider unvollstandig angegeben. Es ist ja eine rekursive Folge, da gehört ein Startwert dazu. Sonst ist das ganz Ding ja sinnlos.
Du möchtest also zeigen, daß die oben definierte Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend ist. (Ich ahne, daß Dein Starwert, [mm] a_1, [/mm] kleiner als 1 ist, richtig?)
Zu zeigen ist also:
Es ist [mm] a_n
Man tut sich sicher etwas leichter, wenn man zeigt, daß [mm] a_{n+1}-a_n>0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
> so, ich habe das ganze angefangen, mit
Induktionsanfang:
>ia n=1 und
> a(1)<a(2)
Das kann ich ja nicht prüfen. Aber eigentlich kann man hier ja wenig verkehrt machen.
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte
> a(k)<a(k+1) für alle k [mm] \in \IN,
[/mm]
d.h. es ist [mm] a_{k+1}-a_k>0 [/mm] für alle k [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsschluß:
zu zeigen ist
[mm] a_{k+1}
d.h. [mm] a_{k+2}-a_{k+1}>0 [/mm] für alle k [mm] \in \IN.
[/mm]
Beweis:
[mm] a_{k+2}-a_{k+1} =\wurzel{(2+a_{n+1})}-\wurzel{(2+a_{n})}=(\wurzel{(2+a_{n+1})}-\wurzel{(2+a_{n})})*\bruch{\wurzel{(2+a_{n+1})}+\wurzel{(2+a_{n})}}{\wurzel{(2+a_{n+1})}+\wurzel{(2+a_{n})}} [/mm] =...
Dann mit Induktionsvoraussetzung abschätzen.
Dann hast Du die Monotonie.
Die Beschranktheit durch 2 mußt Du dann noch als nächstes zeigen.
Gruß v. Angela
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nunja, es ist schon spät angela, und da hatte ich den startwert vergessen, er ist [mm] \wurzel{2}, [/mm] kannst du mir jetzt nochmal helfen? oder jemand anderes, naja dann danke erstmal??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Do 06.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefbond!
Sieh' mal hier [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]), da wurde diese Aufgabe (allgemein) sehr ausführlich behandelt.
Gruß
Loddar
[/mm]
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> nunja, es ist schon spät angela, und da hatte ich den
> startwert vergessen, er ist [mm]\wurzel{2},[/mm] kannst du mir jetzt
> nochmal helfen? oder jemand anderes, naja dann danke
> erstmal??
Alles, was ich geschrieben habe, gilt auch für den Startwert [mm] \wurzel{2}, [/mm] denn es stimmt ja der Induktionsanfang.
Gruß v. Angela
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