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| Aufgabe | Seien [mm] (a_n)_{n\in\IN,} (b_n)_{n\in\IN} [/mm] Folgen in [mm] \IR. [/mm] Zeige:
(a) [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] besitzt eine in [mm] [-\infty,\infty] [/mm] konvergente Teilfolge,
(b) es existieren Teilfolgen [mm] a_n_{k} \rightarrow \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n [/mm] und [mm] a_n_{k}' \rightarrow \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n},
[/mm]
(c) [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}(a_n+b_n) \ge \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n+\underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}b_n, [/mm] falls [mm] \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n \not= \infty,-\infty,
[/mm]
[mm] \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}(a_n+b_n) \le \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n [/mm] + [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}b_n, [/mm] falls [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n \not= \infty,-\infty,
[/mm]
(d) [mm] f({\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}}(a_n))={\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}}f(a_n), [/mm] falls [mm] f:[-\infty, \infty] \rightarrow [-\infty, \infty] [/mm] stetig und monoton wachsend ist.
Zeige anhand eines Beispiels, dass man auf die Monotonie nicht verzichten kann. |
moin,
ich habe einige probleme diesen Aufgabe zu lösen und hoffe ihr könnt mir einige starthilfen geben.
Zu a) besagt das die folgen [mm] a_n [/mm] konvergente Teilfolge in [mm] [-\infty, \infty], [/mm] d.h ja dann
sei [mm] (a_n_k) [/mm] Teilfolgen von [mm] a_n [/mm] dann konvergiert sie gegen ein a [mm] \in [-\infty,\infty] [/mm] und das ist entweder der größte Häufungspunkt oder der kleinste Häufungspunkt.
Leider weiß ich das wie ich am besten anfangen soll. Da wir nur wissen Teilfolge konvergiert aber d.h nicht das die folge [mm] a_n [/mm] selber auch konvergent ist.
Zu b) die gleich argumentation wie oben. Da teilfolgen konvergieren besitzt die folgen eine obere und untere schranke, somit sie die folge [mm] a_n [/mm] beschränkt.
könnt ihr mir den ansatz zeigen?ich bin für jede hilfe dankbar.
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Guten Tag
Dürfen wir dich bitten, zunächst etwas Ordnung in deine
Fragestellung zu bringen.
Beispielsweise würde es genügen, jede Teilaufgabe nur
einmal hinzuschreiben.
Benütze bitte dazu den Vorschau - Button, damit du
siehst, was du abschickst !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
gehört dies nicht eigentlich in den Analysis-Bereich.. sehe nicht inwiefern das mit Maßtheorie zusammenhängt.
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Sa 25.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> gehört dies nicht eigentlich in den Analysis-Bereich..
> sehe nicht inwiefern das mit Maßtheorie zusammenhängt.
der Hinweis war korrekt, daher:
verschoben!
Gruß,
Marcel
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Hallo questionpeter,
ich habe Deinem Aufgabentext bearbeitet und in dem Zuge mithilfe meines Kaffeesatzes auch die Aufgabe d) ergänzt.
Prüfe, ob ich richtig hellgesehen habe,
und nutze vor allem in Zukunft die Vorschaufunktion.
LG Angela
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> Seien [mm](a_n)_{n\in\IN,} (b_n)_{n\in\IN}[/mm] Folgen in [mm]\IR.[/mm]
> Zeige:
> (a) [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] besitzt eine in [mm][-\infty,\infty][/mm]
> konvergente Teilfolge,
> (b) es existieren Teilfolgen [mm]a_n_{k} \rightarrow \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n[/mm]
> und [mm]a_n_{k}' \rightarrow \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n},[/mm]
>
> (c) [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}(a_n+b_n) \ge \underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n+\underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}b_n,[/mm]
> falls [mm]\underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n \not= \infty,-\infty,[/mm]
>
> [mm]\underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}(a_n+b_n) \le \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n[/mm]
> + [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}b_n,[/mm] falls
> [mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n \not= \infty,-\infty,[/mm]
>
> (d)
> [mm]f({\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}}(a_n))={\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}}f(a_n),[/mm]
> falls [mm]f:[-\infty, \infty] \rightarrow [-\infty, \infty][/mm]
> stetig und monoton wachsend ist.
> Zeige anhand eines Beispiels, dass man auf die Monotonie
> nicht verzichten kann.
>
>
> moin,
>
> ich habe einige probleme diesen Aufgabe zu lösen und hoffe
> ihr könnt mir einige starthilfen geben.
>
> Zu a) besagt das die folgen [mm]a_n[/mm] konvergente Teilfolge in
> [mm][-\infty, \infty],[/mm] d.h ja dann
> sei [mm](a_n_k)[/mm] Teilfolgen von [mm]a_n[/mm] dann konvergiert sie gegen
> ein a [mm]\in [-\infty,\infty][/mm] und das ist entweder der
> größte Häufungspunkt oder der kleinste Häufungspunkt.
>
> Leider weiß ich das wie ich am besten anfangen soll. Da
> wir nur wissen Teilfolge konvergiert aber d.h nicht das die
> folge [mm]a_n[/mm] selber auch konvergent ist.
>
> Zu b) die gleich argumentation wie oben. Da teilfolgen
> konvergieren besitzt die folgen eine obere und untere
> schranke, somit sie die folge [mm]a_n[/mm] beschränkt.
>
> könnt ihr mir den ansatz zeigen?ich bin für jede hilfe
> dankbar.
Guten Tag questionpeter,
ich beziehe mich nun auf die von Angela freundlicherweise
ausgebesserte Version der Aufgabenstellung.
Ich denke, dass zum richtigen Verständnis der Aufgabe
gewisse Ergänzungen nützlich sein könnten, da hier ein
etwas unüblicher Konvergenzbegriff verwendet wird. Dies
wird schon in Aufgabe (a) klar.
Mit dem "normalen" Konvergenzbegriff gilt die Aussage
"Jede Folge reeller Zahlen enthält eine konvergente
Teilfolge" schlicht gar nicht. Hier werden aber offenbar
auch solche Folgen, die man üblicherweise als "bestimmt
divergent" bezeichnet (also solche, die entweder gegen [mm] +\infty
[/mm]
oder gegen [mm] -\infty [/mm] divergieren), als (in neuem Sinne)
"konvergent" bezeichnet. Diese Interpretation entnehme
ich insbesondere der Schreibweise
" eine in $ [mm] [-\infty,\infty] [/mm] $ konvergente Teilfolge "
Man beachte dabei besonders die eckigen Klammern,
welche andeuten sollen, dass auch die Werte [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty
[/mm]
als Grenzwerte von in erweitertem Sinne "konvergenten"
Folgen zugelassen sein sollen.
Nach diesen Bemerkungen scheint mir der grundsätzliche
Weg zur Lösung der Aufgabe recht klar. In erster Linie
geht es darum, zu zeigen, dass jede Folge wenigstens
eine (im schwachen Sinne) monotone Teilfolge enthalten
muss (die immer noch aus unendlich vielen Gliedern besteht !).
Bei manchen Folgen mag es sogar monoton steigende
und auch monoton fallende unendliche Teilfolgen geben.
Haben wir dann beispielsweise eine derartige monotone
(z.B. oBdA steigende) Teilfolge aus unendlich vielen
Gliedern, ist sie entweder beschränkt und konvergiert
nach dem Satz über beschränkte monotone Folgen
gegen ihre (endliche) kleinste obere Schranke in [mm] \IR.
[/mm]
Ist sie aber (oben) nicht beschränkt, divergiert sie
gegen [mm] +\infty [/mm] und ist also nach dem hier benützten
erweiterten Konvergenzbegriff ebenfalls konvergent
mit dem Grenzwert [mm] +\infty [/mm] .
So wie ich hier den erweiterten Konvergenzbegriff
erläutert habe, erfordern wohl auch die Schreibweisen
[mm]\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n[/mm]
[mm]\underline{\limes_{n\rightarrow\infty}}a_n[/mm]
gewisser Erklärungen. Eigentlich solltest du die ja
wohl in deinem Skript haben ...
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
> > Seien [mm](a_n)_{n\in\IN,} (b_n)_{n\in\IN}[/mm] Folgen in [mm]\IR.[/mm]
> > Zeige:
> > (a) [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] besitzt eine in [mm][-\infty,\infty][/mm]
> > konvergente Teilfolge,
> Nach diesen Bemerkungen scheint mir der grundsätzliche
> Weg zur Lösung der Aufgabe recht klar. In erster Linie
> geht es darum, zu zeigen, dass jede Folge wenigstens
> eine (im schwachen Sinne) monotone Teilfolge enthalten
> muss (die immer noch aus unendlich vielen Gliedern besteht
> !).
Wenn ich nichts übersehe, erscheint mir der Nachweis, dass jede Folge eine monotone Teilfolge besitzt, deutlich schwieriger als der Nachweis der eigentlichen Behauptung der Aufgabe.
Ich würde stattdessen die Fälle
1. Die Folge ist nach oben unbeschränkt.
2. Die Folge ist nach unten unbeschränkt.
3. Die Folge ist beschränkt.
unterscheiden und in jedem dieser Fälle die Konvergenz der Folge einer Teilfolge in [mm] $[-\infty,+\infty]$ [/mm] nachweisen.
Vielleicht steht der Satz von Bolzano-Weierstraß schon zur Verfügung.
Dann ist bei 3. nichts weiter zu tun.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias
> > > Seien [mm](a_n)_{n\in\IN,} (b_n)_{n\in\IN}[/mm] Folgen in [mm]\IR.[/mm]
> > > Zeige:
> > > (a) [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] besitzt eine in [mm][-\infty,\infty][/mm]
> > > konvergente Teilfolge,
>
>
> > Nach diesen Bemerkungen scheint mir der grundsätzliche
> > Weg zur Lösung der Aufgabe recht klar. In erster Linie
> > geht es darum, zu zeigen, dass jede Folge wenigstens
> > eine (im schwachen Sinne) monotone Teilfolge enthalten
> > muss (die immer noch aus unendlich vielen Gliedern besteht !).
> Wenn ich nichts übersehe, erscheint mir der Nachweis,
> dass jede Folge eine monotone Teilfolge besitzt, deutlich
> schwieriger als der Nachweis der eigentlichen Behauptung
> der Aufgabe.
>
>
> Ich würde stattdessen die Fälle
> 1. Die Folge ist nach oben unbeschränkt.
> 2. Die Folge ist nach unten unbeschränkt.
> 3. Die Folge ist beschränkt.
> unterscheiden
Eine solche Aufteilung der Fälle würde ich natürlich
auch machen.
> ........ und in jedem dieser Fälle die Konvergenz
> der Folge in [mm][-\infty,+\infty][/mm] nachweisen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Falls du auf die Betrachtung monotoner Teilfolgen
verzichten willst, musst du doch trotzdem so etwas
wie ein "Rezept" angeben, um eine konvergente
Teilfolge auszusortieren.
Dass die zunächst vorgegebene (beliebige) Folge
konvergent ist, kann man ja bestimmt nicht
voraussetzen bzw. beweisen !
Oder habe ich da etwas missverstanden ?
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 26.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al-Chwarizmi!
> > Ich würde stattdessen die Fälle
> > 1. Die Folge ist nach oben unbeschränkt.
> > 2. Die Folge ist nach unten unbeschränkt.
> > 3. Die Folge ist beschränkt.
> > unterscheiden
>
> Eine solche Aufteilung der Fälle würde ich natürlich
> auch machen.
>
> > ........ und in jedem dieser Fälle die Konvergenz
> > der Folge in [mm][-\infty,+\infty][/mm] nachweisen.
>
> Falls du auf die Betrachtung monotoner Teilfolgen
> verzichten willst, musst du doch trotzdem so etwas
> wie ein "Rezept" angeben, um eine konvergente
> Teilfolge auszusortieren.
Ja.
In den ersten beiden Fällen ist es weder besonders schwierig, eine in [mm] $[-\infty,+\infty]$ [/mm] konvergente Teilfolge zu konstruieren noch eine monotone Teilfolge zu konstruieren.
Im 3. Fall liefert der Satz von Bolzano-Weierstraß (wenn er denn bekannt ist und somit nicht mehr bewiesen werden muss) sofort die Existenz einer konvergenten Teilfolge.
Ich dachte nun, im 3. Fall müsse man großen Aufwand betreiben, um eine monotone Teilfolge zu konstruieren.
Darauf deutete eine von mir gegoogelte Musterlösung hin, die in diesem Fall u.a. den Satz von Bolzano-Weierstraß als Hilfsmittel verwendete.
Jetzt habe ich aber ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript hier unter Lemma 2.2.7 einen deutlich einfacheren Beweis der Aussage gefunden, dass jede Folge reeller Zahlen eine monotone Teilfolge besitzt.
Wenn man diesen Beweis kennt, ist dein Weg doch nicht komplizierter als meiner.
> Dass die zunächst vorgegebene (beliebige) Folge
> konvergent ist, kann man ja bestimmt nicht
> voraussetzen bzw. beweisen !
>
> Oder habe ich da etwas missverstanden ?
Nein, du hast keineswegs etwas missverstanden.
Ich habe mich schlichtweg übel verschrieben und meinen Beitrag nun entsprechend korrigiert.
Danke für den Hinweis!
Viele Grüße
Tobias
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