konvergente Folgen - Monotoniä < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey leute!
habe folgende aufgabe zu lösen,habe aber keinen schimmer wie ich ansetzen soll:
Sei a eine positive reelle Zahl.Sei [mm] a_{1} [/mm] irgendeine positive reelle Zahl und [mm] a_{n+1}=\bruch{a_{n}+\bruch{a}{ a_{n}}}{2} [/mm] . Zeigen sie dass die folge ( [mm] a_{n}) [/mm] monoton und beschränkt ist. Zeigen sie,dass es eine reelle Zahl b gibt mit [mm] b^2=a.
[/mm]
wäre super,wenn mir jemand helfen könnt,
ciao
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Fr 18.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
ich muss die selbe Aufgabe lösen. In der Vorlesung haben wir definiert, dass eine Folge ( [mm] a_{n} [/mm] ) n [mm] \in \IN [/mm] ...
a) monoton wachsend: [mm] \forall [/mm] i [mm] \le [/mm] j [mm] \Rightarrow a_{i} \le a_{j}
[/mm]
b) monoton fallend: [mm] \forall [/mm] i [mm] \le [/mm] j [mm] \Rightarrow a_{i} \ge a_{j}
[/mm]
außerdem haben wir bewiesen, dass ( [mm] a_{n} [/mm] ) n [mm] \in \IN [/mm] ...
c) nach oben beschränkt: [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a_{n} \le [/mm] c
d) nach unten beschränkt: [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a_{n} \ge [/mm] c
Ich habe aber ebenfalls keine Idee, wie ich das anwenden soll. Ich habe überhaupt Probleme mit den Bezeichnungen und Definitionen von Folgen. Kann mir vielleicht jemand Literatur oder am besten noch eine Internetadresse nennen, wo alles Grundlegende zu folgen erklärt ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Sa 19.11.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo magda
Ich würde folgendes nachprüfen:
Wenn [mm] $a_n>\sqrt [/mm] a$, dann ist [mm] $a_n>a_{n+1}>\sqrt [/mm] a$.
Wenn [mm] $a_n<\sqrt [/mm] a$, dann ist [mm] $a_n
Wenn [mm] $a_n=\sqrt [/mm] a$, dann ist [mm] $a_{n+1}=a_n=\sqrt [/mm] a$
Dass macht man, indem man die Rekursionsformel für [mm] $a_{n+1}$ [/mm] benutzt.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Mira1 |
Hallo,
ich verstehe noch nicht ganz was es mir bringt, nach [mm] \wurzel{a} [/mm] umzuformen.
Wenn ich [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] setzte kriege ich [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] raus... und dann?!? Damit weiß ich ja nicht wirklich, in welchem Zusammenhang [mm] a_{n} [/mm] mit [mm] \wurzel{a} [/mm] steht. Man hätte ja auch < oder > nehmen können.
Lg Mira
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mo 21.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Mira und mitch
WENN eine rekursive Folge konvergiert, dann findet man ihren Grenzwert mit [mm] a_{n+1}?a{n}. [/mm] Damit hast du also schon mal ein Ziel! Aber noch nicht bewiesen, dass der Grenzwert existiert.
Zur Idee: Man sucht z.Bsp [mm] \wurzel{2}. [/mm] Der beste Weg: man fängt an mit irgend ner Zahl, wenn man klug ist zw. 1 und 2.( Aber das ist nicht notwendig). Ich nehm a1=1.5. Dann prüft man [mm] 1.5^{2}=2.25>2 [/mm] . also zu groß.
deshalb muss 2/1.5 zu klein sein. Deshalb nehm ich den Mittelwert zw. 1.5 und 2/1.5=1.333 als a2 ich weiss jetzt a2<a1. Wieder nachprüfen [mm] a2^{2}=2.006>2 [/mm] und damit a2>wurzel{2} und 2/a2<wurzel{2}.
Wieder hab ich zwei Werte, einer zu groß, einer zu klein und nehm als Verbesserung den Mittelwert!. Natürlich klappt das auch, wenn [mm] an<\wurzel{2}, [/mm] denn dann ist [mm] 2/an>\wurzel{2} [/mm] und das Mittel ist besser.
Wenn man die Idee kapiert hat, sollte der Beweis nicht mehr so schwer sein!
(Denk mal an Intervallschachtelung, oder Zeichne die Schritte am Zahlenstrahl, das löhnt sich bei rekursiven Zahlenfolgen oft.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 21.11.2005 | | Autor: | scrabby |
hi
also um [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] zu bekommen muss man nur [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] setzen. aber warum genau mach ich das? und wie kann ich jetzt die Monotonie bzw. Beschränktheit ablesen?
ich hatte für die monotonie ursprünglich die idee [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] zu berechnen aber bin da irgendwie hängen geblieben.
wäre klasse wenn jemand weiterhelfen könnte.
mfg michael
|
|
|
| |
|
Hallo Scrabby,
> also um [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm] zu bekommen muss man nur
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] setzen.
Nein, Du musst Dich an die Rekursionsvorschrift halte und [mm] a_{n+1} [/mm] aus [mm] a_n [/mm] errechnen. Aber wenn(!) dabei rauskommt, dass [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] ist, dann wird die Folge konstant mit [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a}. [/mm] Das kannst Du mit Hilfe der Rekursionsformel leicht nachrechnen.
Angenommen x² > a, dann ist x > a/x, also x = (x+x)/2 > (x + a/x)/2.
Aus dieser Gleichung folgt die Monotonie [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm] in diesem Fall.
Außerdem ist das geometrische Mittel stets kleiner als das arithmetische, also (a+b)/2 [mm] \ge \wurzel{ab}.
[/mm]
Das kannst Du einfach mit Binomi aus (a+b)²/4 - ab = (a-b)² [mm] \ge [/mm] 0 folgern.
Damit folgt aber 0,25(x+a/x)² [mm] \ge (\wurzel{x*a/x})² [/mm] = a, also ist [mm] a_{n+1} \ge [/mm] a.
Für den Fall [mm] x_0² [/mm] < a kannst Du analog vorgehen.
Gruß, Richard
|
|
|
|
