konvergente Funktionenfolge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Di 30.03.2010 | | Autor: | lebesgue |
| Aufgabe | Sei [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge messbarer Funktionen [mm] f_{n} [/mm] : [0,1] [mm] \to \IR.
[/mm]
Ist es möglich, dass [mm] f_{n} \to [/mm] 0 punktweise in [0,1], [mm] sup_{n \in \IN} \parallel f_{n} \parallel_{\infty} [/mm] = 10 und [mm] \integral_{0}^{1}{|f_{n}(x)| dx}=1 [/mm] für alle n ?
(mit der unendlichkeitsnorm ist hier das wesentliche supremum des Betrages von f gemeint) |
Ich habe zuerst versucht mir eine Funktion zu suchen , die diese Anforderungen erfüllt.
Wenn ich jetzt die Funktion [mm] f_{n} [/mm] betrachte, für die [mm] \parallel f_{n} \parallel_{\infty} [/mm] = 10 gilt, dann müsste [mm] f_{n}\le [/mm] 10 fast überall gelten.
Das bedeutet aber das [mm] f_{n}(x)= [/mm] 10 auf mehr als einer Nullmenge gilt.
Damit das Integral nun 1 für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist müsste die Funktion meiner Meinung nach aber entweder unabhängig von n sein oder etwas in der Art [mm] f_{n}=\bruch{n}{2} [/mm] sin(nx) sein, wobei ich dann aber probleme mit dem supremum bekomme.
Mir fällt kein anderer Weg ein, wie ich die Aufgabe angehen kann und mir scheint ich komme über meinen Ansatz nicht weiter. Fällt euch was dazu ein.
MfG
p.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Di 30.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Eine Folge mit diesen Eigenschaften existiert nicht. Den Beweis hierzu kannst du führen indem du mithilfe des Satzes von Lebesgue (Satz von der majorisierten Konvergenz) zu einem Widerspruch gelangst.
Gruß,
Doing
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mi 31.03.2010 | | Autor: | lebesgue |
Danke für den Tipp.
Ich hab den Wink mit dem Zaunpfahl nicht mitbekommen... in der Aufgabenstellung ist ja schon eine tolle, integrierbare Majorante gegeben...
Hatte es zuvor mit der monotonen Konvergenz versucht, aber dadurch konnte ich nur zeigen, dass das für monotone Funktionenfolgen nicht möglich ist.
|
|
|
|
