konvergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 04.01.2007 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | Für welche [mm] a\in\IR [/mm] konvergiert die Reihe
[mm] \summe \bruch{a^{2k}}{(1+a^{2})^{k-1}} [/mm] |
Hallo,
also meine Frage ist:
Die Reihe konvergiert ja einmal für a [mm] \le [/mm] 0 gegen 0 und für a [mm] \ge [/mm] 0 gegen 1. Nur wie schreibe ich das auf? Ich weiß es nicht so recht. Nach einigen Umformungen, die ich kennen gelernt habe, ergab sich folgendes:
[mm] \bruch{a^{2}}{1+a^{2}}
[/mm]
wie schreibe ich das nun auf? Wenn a gegen unendlich geht oder wie? Ich weiß es einfach nicht :-(
lg lene
ich habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Für welche [mm]a\in\IR[/mm] konvergiert die Reihe
>
> [mm]\summe \bruch{a^{2k}}{(1+a^{2})^{k-1}}[/mm]
> Hallo,
> also meine Frage ist:
>
> Die Reihe konvergiert ja einmal für a [mm]\le[/mm] 0 gegen 0 und für
> a [mm]\ge[/mm] 0 gegen 1.
Hallo,
ob a größer oder kleiner als Null ist, spielt doch gar keine Rolle, weil es stets in der 2. Potenz vorkommt.
Da interessiert doch allein der Betrag.
Für a>0 geht die Reihe gewiß nicht gegen 1.
Nimm a=2
[mm] \summe \bruch{2^{2k}}{(1+2^{2})^{k-1}}=\summe \bruch{4^k}{5^{k-1}}=5\summe\bruch{4^k}{5^{k}}=5\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}=25
[/mm]
> Nach einigen Umformungen, die ich kennen
> gelernt habe, ergab sich folgendes:
>
> [mm]\bruch{a^{2}}{1+a^{2}}[/mm]
Was sind das für Umformungen? Mit welchem Ziel hast du die gemacht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 04.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Hallo,
ja gut, ich hab jetzt meinen Fehler gefunden. Ich habe es versucht mit dem Quotientenkriterium, doch wenn 1 rauskommt versagt dieses Kriterium. Also versagt auch das Wurzelkriterium. Aber wie gehe ich dann vor um die Konvergenz der reihe herauszukriegen? Welches Kriterium benutze ich dann am besten?
Oder sollte ich dafür vielleicht eine komplett neue Frage stellen?
lg lene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo lene
Das was dir Angela mit a=2 vorgemacht hat kannst du doch auch für beliebige a nachmachen, und so auf ne geometrische Reihe kommen.
Immer neue posts zur selben Aufgabe sind sicher schädlich und nützen nix! Das ist ja schon der Zweite, statt auf die Antwort im ersten zu reagieren!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Do 04.01.2007 | | Autor: | lene233 |
hallo,
Ja schön und gut, doch wenn ich die Antwort einfach nicht verstehe und zwischendurch zu neuen Erkenntnissen selbst gekommen bin, soll ich dann einfach trotzdem Fragen stellen, deren Antwort mir dann nix bringt? Ich werd doch wohl neue Fragen stellen dürfen und als Anfänger hier im Forum darf man doch auch fragen ob sich eine neue Themeneröffnung lohnt oder nicht. Ich denke schon.
lg lene
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> ja gut, ich hab jetzt meinen Fehler gefunden. Ich habe es
> versucht mit dem Quotientenkriterium, doch wenn 1 rauskommt
> versagt dieses Kriterium.
Achso!!!!!!!!!!!!!!
So etwas mußt Du doch dazuschreiben. Das ist schon etwas anderes als "eine Umformung".
Dein [mm] \bruch{a^2}{1+a^2} [/mm] ist der Quotient vom Quotientenkriterium.
Ja, und?
Also ist [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{a^2}{1+a^2}.
[/mm]
Da ist doch alles in bester Ordnung. Mit [mm] \theta:=\bruch{a^2}{1+a^2} [/mm] hast Du doch alles, was Du fürs Quotientenkriterium brauchst.
Das einzige, was häßlich ist, ist, daß Du damit den Grenzwert noch nicht hast. Insofern ist die Sache mit der geometrischen Reihe besser.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 04.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Hallo,
> Hallo,
>
> ob a größer oder kleiner als Null ist, spielt doch gar
> keine Rolle, weil es stets in der 2. Potenz vorkommt.
> Da interessiert doch allein der Betrag.
>
> Für a>0 geht die Reihe gewiß nicht gegen 1.
>
> Nimm a=2
>
> [mm] \summe \bruch{2^{2k}}{(1+2^{2})^{k-1}}=\summe \bruch{4^k}{5^{k-1}}=5\bruch{4^k}{5^{k}}
[/mm]
also bis dahin hab ich das wohl noch nachvollziehen können. Doch danach wirds schwieriger...
> [mm] =5*\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}} [/mm] =25
>
Wie verschwinden da die k? ich kann den Bruch nicht wirklich nachvollziehen. Wieso da plötzlich 25 herauskommt. Und ich weiß immer noch nicht so recht, wie ich das aufschreiben könnte.
Danke
lg lene
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> > Nimm a=2
> >
> > [mm]\summe \bruch{2^{2k}}{(1+2^{2})^{k-1}}=\summe \bruch{4^k}{5^{k-1}}= (EDIT!) 5\summe\bruch{4^k}{5^{k}}[/mm]
>
> also bis dahin hab ich das wohl noch nachvollziehen können.
> Doch danach wirds schwieriger...
>
> > [mm]=5*\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}[/mm] =25
> >
>
> Wie verschwinden da die k?
Hallo,
Stichwort: geometrische Reihe.
ich kann den Bruch nicht
> wirklich nachvollziehen. Wieso da plötzlich 25 herauskommt.
Da ist kein Geheimnis bei: einfach ausrechnen.
> Und ich weiß immer noch nicht so recht, wie ich das
> aufschreiben könnte.
Was denn?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 Fr 05.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Hallo,
> Hallo,
>
> Stichwort: geometrische Reihe.
>
Also ist [mm] |\bruch{4}{5}|<1 [/mm] und somit konvergiert die geometrische Reihe, richtig?
Und da diese konvergiert, konvergiert auch die ganze Reihe?
Gilt diese Konvergenz dann für alle a? Und ist das einsetzen von Zahlen für a und somit die Enstehung einer geometrischen Reihe bereits der Beweis dafür, dass sie konvergiert für alle a?
Oder wie zeige ich am besten für welche a es konvergiert?
lg lene
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo lene
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > Stichwort: geometrische Reihe.
> >
>
> Also ist [mm]|\bruch{4}{5}|<1[/mm] und somit konvergiert die
> geometrische Reihe, richtig?
ja, denn du hast ja 5*die Reihe und kennst also auch die Summe. aber das ist nur der Beweis für a=2
jetzt musst du ihn noch allgemein führen für ein beliebiges a>1
Wenn du das nicht auf Anhieb kanst, versuch es mal erst mit a=7 und a=1.2 oder 2 anderen Zahlen, dann siehst du, dass es immer ähnlich geht, nur statt der 5 hier musst du halt ne andere zahl rausziehen.
dann musst du zeigen, dass du dann ne geom. Reihe, oder Zahl*geom.reihe hast und die Summe ausrechnen.
Gruss leduart
> Und da diese konvergiert, konvergiert auch die ganze Reihe?
> Gilt diese Konvergenz dann für alle a? Und ist das
> einsetzen von Zahlen für a und somit die Enstehung einer
> geometrischen Reihe bereits der Beweis dafür, dass sie
> konvergiert für alle a?
Ein Zahlenbeispiel ist nie ein allgemeiner Beweis.
> Oder wie zeige ich am besten für welche a es konvergiert?
Siehe oben! (es konv. für alle |a|>1) und divergiert für alle [mm] |a|\le1)
[/mm]
Gruss leduart
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> > Gilt diese Konvergenz dann für alle a? Und ist das
> > einsetzen von Zahlen für a und somit die Enstehung einer
> > geometrischen Reihe bereits der Beweis dafür, dass sie
> > konvergiert für alle a?
> Ein Zahlenbeispiel ist nie ein allgemeiner Beweis.
> > Oder wie zeige ich am besten für welche a es
> konvergiert?
> Siehe oben! (es konv. für alle |a|>1) und divergiert für
> alle [mm]|a|\le1)[/mm]
Hallo,
das ist nicht richtig - möglicherweise verwechselst Du es mit einer recht ähnlichen Aufgabe, die gerade aktuell ist.
Hier bearbeiten wir [mm] \summe \bruch{a^{2k}}{(1+a^{2})^{k-1}}=(1+a^2)\summe (\bruch{a^2}{1+a^{2}})^k, [/mm] und [mm] \bruch{a^2}{1+a^{2}}<1 [/mm] für alle a.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Fr 05.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Hallo,
ok, ich kann irgendwie nicht so recht auf Angelas Korrekturmitteilung antworten, also mache ich es so. Eine Frage hätte ich nämlich noch. Bisher habe ich es wohl verstanden. Bin zwar etwas verwirrt gewesen aber so langsam wird es wieder 
Ist es als Beweis ausreichend, wenn ich die Schritte, die Angela in ihrer Korrekturmitteilung geschrieben hat aufschreibe und dann das hinter dem Summenzeichen, also
[mm] (\bruch{a^{2}}{1+a^{2}})^{k} [/mm] als eine geometrische Reihe benenne, dessen [mm] q:=(\bruch{a^{2}}{1+a^{2}}) [/mm] ist. Wenn ich dann sage, dass |q|<1 ist für alle a, reicht das schon als Beweis?
Wie schreibe ich das denn korrekt auf, so einen Beweis? Da wurde mir immer noch nicht recht drauf geantwortet und ich weiß es selbst auch nicht. z.B. die Sache, dass es für alle a gilt, weil a immer quadriert wird und somit immer positiv wird. Wäre dankbar für eine weitere Hilfestellung...
lg lene
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> Ist es als Beweis ausreichend, wenn ich die Schritte, die
> Angela in ihrer Korrekturmitteilung geschrieben hat
> aufschreibe und dann das hinter dem Summenzeichen, also
>
> [mm](\bruch{a^{2}}{1+a^{2}})^{k}[/mm] als eine geometrische Reihe
> benenne, dessen [mm]q:=(\bruch{a^{2}}{1+a^{2}})[/mm] ist. Wenn ich
> dann sage, dass |q|<1 ist für alle a, reicht das schon als
> Beweis?
> Wie schreibe ich das denn korrekt auf, so einen Beweis?
Im Prinzip so, wie Du es gerade schreibst. s.u.
> Da wurde mir immer noch nicht recht drauf geantwortet und ich
> weiß es selbst auch nicht.
Daß Dir darauf bisher nicht geantwortet wurde, liegt daran, daß Du gerade zum ersten Mal mitteilst, WAS Du gerne korrekt aufschreiben möchtest.
Du kannst schreiben, daß für alle a [mm] \in \IR q:=(\bruch{a^{2}}{1+a^{2}})<1 [/mm] gilt (das bedarf keiner weiteren Erläuterung mehr.),
daß somit die geometrische Reihe [mm] \summe (\bruch{a^{2}}{1+a^{2}})^{k} [/mm] konvergiert mit [mm] (\bruch{a^{2}}{1+a^{2}})^{k}=... [/mm] .
Folglich ist [mm] \summe \bruch{a^{2k}}{(1+a^{2})^{k-1}}=(1+a^2)\summe (\bruch{a^2}{1+a^{2}})^k [/mm] konvergent und es ist
[mm] \summe \bruch{a^{2k}}{(1+a^{2})^{k-1}}=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Fr 05.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Danke danke danke für die Ausdauer 
Ohne dich wäre ich bestimmt verloren gewesen bei der Aufgabe...
lg lene
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