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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Do 15.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | a) Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge in [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (sin(a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine konvergente Teilfolge hat.
b) Geben Sie eine Folge in [0,1] an, für die die Menge der Häufungspunkte [0,1] ist. |
Guten Abend Mathematiker,
Zur oben genannten Aufgabe habe ich eine Frage und einen löchrigen Ansatz:
Vorüberlegung: für eine Sinusfunktion lautet das Intervall [-1,1] und es gibt unendlich viele Häufungspunkte. Ich suche mir einen davon aus, zum Beispiel 0. Für die Teilfolge [mm] sin(k*\pi) [/mm] von [mm] ((a_{n}))_{n \in \IN}, [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] lautet der Häufungspunkt 0.
Ich versuche über einen Widerspruch zu zeigen, dass die Teilfolge konvergent ist.
Also:
[mm] sin(k*\pi) [/mm] ist Teilfolge von [mm] (in(a_{n}))_{n \in \IN}, [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Wir gehen von der Annahme aus, dass die Teilfolge nicht konvergent sei, dann gilt
[mm] \exists \epsilon [/mm] > 0
[mm] |sin(k*\pi)-0| \ge \epsilon [/mm]
Wenn ich nun für k beliebige Werte einsetze, erhalte ich
|sin(k* [mm] \pi)- [/mm] 0| [mm] \ge \epsilon [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
|0| [mm] \ge \epsilon
[/mm]
Da diese Aussage nicht stimmt, muss die Teilfolge konvergent sein.
Stimmt dieser Ansatz und müsste ich noch irgendetwas ergänzen?
zu b)
zu b) mache ich mir noch ein paar Gedanken und poste diese gleich auch.
Ich hoffe auf rege Zusammenarbeit,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Do 15.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge in [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass die
> Folge [mm](sin(a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine konvergente Teilfolge
> hat.
>
> b) Geben Sie eine Folge in [0,1] an, für die die Menge der
> Häufungspunkte [0,1] ist.
>
> Guten Abend Mathematiker,
>
> Zur oben genannten Aufgabe habe ich eine Frage und einen
> löchrigen Ansatz:
>
> Vorüberlegung: für eine Sinusfunktion lautet das
> Intervall [-1,1] und es gibt unendlich viele
> Häufungspunkte.
Das Intervall als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] hat unendlich viele Häufungspunkte. Für die Folge [mm] $a_n$ [/mm] muss das nicht gelten. Beispiel [mm] $a_n=2+1/n$. [/mm] Diese Folge hat nur einen Häufungspunkt.
> Ich suche mir einen davon aus, zum
> Beispiel 0. Für die Teilfolge [mm]sin(k*\pi)[/mm] von [mm]((a_{n}))_{n \in \IN},[/mm]
> k [mm]\in \IN[/mm] lautet der Häufungspunkt 0.
Für eine beliebige Folge ist [mm]sin(k*\pi)[/mm] keine Teilfolge, wie schon mein obiges Beispiel [mm] $a_n=2+1/n$ [/mm] zeigt.
Tipp: Verwende den Satz von Bolzano-Weierstraß!
Tipp zu b): in jeder noch so kleinen Umgebung einer reellen Zahl liegt mindestens eine andere, rationale Zahl.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Do 15.11.2012 | | Autor: | zjay |
der Satz von Bolzano-Weierstraß lautet:
Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente Teilfoge, das heißt mindestens einen Häufungspunkt.
Muss ich also zeigen, dass [mm] sin(a_{n}) [/mm] beschränkt ist? Danach suche ich mir eine Teilfolge heraus (die einzigen Teilfolgen, die mir einfallen lauten [mm] sin(a_{2n}) [/mm] und [mm] sin(a_{2n+1}) [/mm] und schlussfolgere, dass diese konvergent ist?
Ich glaube ich weiß nicht so recht wie ich den Satz auf diese Aufgabe anzuwenden habe.
auch zu b) muss ich sagen, dass ich noch nicht den zusammenhang zwischen deiner aussage und der Teilaufgabe b) verstanden habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Do 15.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum Glück steht da nicht gib eine Folge an, sondern nur zeige dass es eine gibtt. da du nichts über die [mm] a_n [/mm] weisst es konnte [mm] a_n=n [/mm] sein, aber auch [mm] a_n=e^n [/mm] oder noch was grausigeres! kannnst du sicher keine angeben!
und eigentlich hast du mit deiner Bemerkung über sin im ersten Punkt un BW schon alles!
zu b denk mal dran, wie ihr gezeigt habt, dass die rationalen zahlen abählbar sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 16.11.2012 | | Autor: | zjay |
Okay, dann sehen meine Lösungen zu a) und b) wie folgt aus:
a) [mm] sin(a_{n}) [/mm] sei beschränkt, dann muss nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß die Folge [mm] (sin(a_{n}) [/mm] eine konvergente Teilfolge besitzen.
b) [mm] \bruch{1}{2}(sin(x)+1)
[/mm]
hat hier alles seine Richtigkeit?
mfg, zjay
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Hallo,
> Okay, dann sehen meine Lösungen zu a) und b) wie folgt
> aus:
>
> a) [mm]sin(a_{n})[/mm] sei ist beschränkt, dann muss nach dem Satz von
> Bolzano-Weierstraß die Folge [mm](sin(a_{n})[/mm] eine konvergente
> Teilfolge besitzen.
>
> b) [mm]\bruch{1}{2}(sin(x)+1)[/mm]
>
> hat hier alles seine Richtigkeit?
Mit der einen Korrektur oben, ja.
Schön, wenn man Bolzano-Weierstraß schon benutzen darf...
Sonst wirds nämlich mühsam.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Fr 16.11.2012 | | Autor: | zjay |
okay danke, damit wäre die Aufgabe abgehakt.
gruß,
zjay
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