konvergente folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Sa 09.12.2006 | | Autor: | feri |
hallo,
könnte jemand mir bei dieser Aufgabe helfen,
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN_0} [/mm] genüge der Rekursion
[mm] a_0=0 [/mm] , [mm] a_1=1 [/mm] , für alle n aus [mm] \IN_0 [/mm] : [mm] a_{n+2}=(1 -k)*a_{n+1}+k*a_n
[/mm]
mit einem gegebenen k aus dem Intervall ( 0 , 1 ) . Zeigen Sie, dass diese Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert. |
mfg,
feri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo feri!
Bestimme Dir mal anhand der Rekursionsvorschrift die ersten Glieder [mm] $a_2$ [/mm] bis etwa [mm] $a_5$ [/mm] .
Daraus sollte sich eine allgemeine explizite Darstellungsform der Folge [mm] $a_n$ [/mm] erkennen lassen (eventuell Beweis mittels vollständiger Induktion).
Für die Konvergenz bzw. den Grenzwert sollte Dich die explizite Form "im weitesten Sinne"  an eine bekannte Reihenform erinnern.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:57 Sa 09.12.2006 | | Autor: | feri |
hallo ,
ich habe das so formuliert, weiß aber nicht ob das richtig ist:
[mm] \left| a_{n+1} - a_n \right|=k* \left| a_n - a_{n-1} \right| \le k^2\left| a_n - a_{n-1} \right| =k^3 \left| a_{n-1} - a_{n-2} \right|
[/mm]
[mm] k^3 [/mm] <1, dann ist diese Folge konvergenz.
wie aber Grenzwert gefunden wird weiß ich immer noch nicht, leider:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:08 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo feri!
Hier ist mir leider überhaupt nicht klar, was du machst ... bitte poste doch auch mal entsprechende Zwischenschritte bzw. auch Deine Idee zur Rechnung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 09.12.2006 | | Autor: | feri |
sollte in dieser Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n-1}=...=\limes_{n\rightarrow\infty} a_2 [/mm] sein oder?
und da [mm] a_2=1-k [/mm] dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1-k
[/mm]
konn man sowas überhaupt behaupten und wenn ja ist das ein gültiger Beweis?
Danke im Voraus!
feri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo und guten Morgen feri!
Nein, das ist kein gültiger Beweis. Wenn überhaupt, geht das über den Ansatz [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n-1}$
[/mm]
Aber auch das nur, wenn Du bereits die Konvergenz an sich nachgewiesen hast (sprich: die Existenz von [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}$ [/mm] ).
Aber irgendwie klappt diese Methode hier auch nicht. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
In Deinem Ansatz "rechnest" Du ja mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_2$ [/mm] , was ja gar kein $n_$ mehr enthält und damit konstant ist. Damit ist dann auch keine vernünftige Grenzwertbetrachtung möglich.
Warum gehst Du nicht mal nach meinen Tipps und Hinweisen von oben vor?
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:39 So 10.12.2006 | | Autor: | feri |
hallo Loddar,
[mm] a_0=0 [/mm] , [mm] a_1=1 [/mm] , [mm] a_2=1-p=(1-(-p)^2)/(1+p) [/mm] , [mm] a_3=(1-(-p)^3)/(1+p)
[/mm]
[mm] a-4=(1-(-p)^4)/(1+p) [/mm]
jetzt versuche ich per Induktion herausfinden ob das für alle n gültig ist,
bis jetzt allerdings kein Erfolg :(
hoffe ,das ich dich richtig verstanden habe,
Grüße,
feri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 So 10.12.2006 | | Autor: | feri |
also jetzt für [mm] a_(n+1)=(1-k)(a_n)+k*a_(n-1)
[/mm]
also nach Induktionsannahme für [mm] a_n [/mm] und a_(n-1) kann man einsetzen:
[mm] a_(n+1)=(1-k)*(1-(-k)^n)/(1+k) [/mm] + k*(1-(-k)^(n-1))/(1+k)
ich habe das weiter bearbeitet, dann habe ich das heraus bekommen:
a_(n+1)=(1-(-k)^(n+1))/(1+k)
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1/(1+k) [/mm] oder?
aber ich soll erstmal beweisen das [mm] a_n [/mm] konvergent ist, oder braucht man das nicht mehr?
Grüße,
feri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 12.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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