konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
| Aufgabe | | untersuche die reihen auf konvergenz. |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n²-\wurzel{n}}{n²+n}
[/mm]
[mm] \summe_{n=3}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{log(logn)}
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n+n}{n!}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(2-\wurzel{2})^n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
| Aufgabe | | konvergieren diese reihen? |
> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n²-\wurzel{n}}{n²+n}[/mm]
> 1.reihe divergiert wegen notwendige bedingung --->1 [mm] \not=0
[/mm]
>2. [mm]\summe_{n=3}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{log(logn)}[/mm]
> 2. ist die 2.reihe konvergent, wenn ja warum? und wie kann ich [mm] \bruch{1}{log(log n)}abschätzen? [/mm]
>3. [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^n+n}{n!}[/mm]
3. kann ich hier quotientenkriterium anwenden?wenn ja was sollte da rauskommen?
>
>4. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(2-\wurzel{2})^n[/mm]
4.kann ich hier wurzelkriterium anwenden? wenn ja was sollte da rauskommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
| Aufgabe | | untersuche auf konvergenz |
[mm] 5.\summe_{n=1}^{\infty}(2^{-logn})
[/mm]
[mm] \(2^{-logn} [/mm] das ist ja das gleiche wie: [mm] e\e^{-logn*log2}
[/mm]
bis hierher ist es klar,aber dann steht da
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^(log2)} [/mm] erstens warum?
und zweitens die summe = [mm] \infty [/mm] warum?
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Hallo nochmal,
> untersuche auf konvergenz
> [mm]5.\summe_{n=1}^{\infty}(2^{-logn})[/mm]
>
> [mm]\(2^{-logn}[/mm] das ist ja das gleiche wie: [mm]e\e^{-logn*log2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bis hierher ist es klar,aber dann steht da
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{(log2)}}[/mm] erstens warum?
Potenzgesetze [mm] $a^{m\cdot{}n}=\left[a^m\right]^n$
[/mm]
Hier ist: [mm] $2^{-\ln(n)}=\frac{1}{2^{\ln(n)}}=\frac{1}{e^{\ln(n)\cdot{}\ln(2)}}=\frac{1}{\left[e^{\ln(n)}\right]^{\ln(2)}}=\frac{1}{n^{\ln(2)}}$
[/mm]
> und zweitens die summe = [mm]\infty[/mm] warum?
Es ist doch [mm] $\ln(2)<1$ [/mm] also [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\ln(2)}}>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Also ...
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
Hallo nochmal,
>
> > untersuche auf konvergenz
> > [mm]5.\summe_{n=1}^{\infty}(2^{-logn})[/mm]
> >
> > [mm]\(2^{-logn}[/mm] das ist ja das gleiche wie: [mm]e\e^{-logn*log2}[/mm]
>
> >
> > bis hierher ist es klar,aber dann steht da
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{(log2)}}[/mm] erstens warum?
>
> Potenzgesetze [mm]a^{m\cdot{}n}=\left[a^m\right]^n[/mm]
>
> Hier ist:
> [mm]2^{-\ln(n)}=\frac{1}{2^{\ln(n)}}=\frac{1}{e^{\ln(n)\cdot{}\ln(2)}}=\frac{1}{\left[e^{\ln(n)}\right]^{\ln(2)}}=\frac{1}{n^{\ln(2)}}[/mm]
>
> > und zweitens die summe = [mm]\infty[/mm] warum?
>
> Es ist doch [mm]\ln(2)<1[/mm] also
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\ln(2)}}>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
>
> Also ...
divergent?
l.g
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Hallo,
na, was meinst du, wir haben mit der harmonischen Reihe eine Reihe gefunden, die divergent ist, also gegen [mm] $\infty$ [/mm] abhaut und die kleiner ist als deine Ausgangsreihe...
Also ...
Und wie heißt das Kriterium, das wir hier benutzt haben? 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Do 10.07.2008 | | Autor: | marie11 |
majorantenkriterium!
ich danke dir!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
zu 3. mit der quotientenkrit. komme ich auf [mm] n\2 [/mm] <1 für n =0, denn 0<1 die reihe konvergiert ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
zu 2. mit der leibnitzkrit. folgt divergenz da einmal [mm] minus\bruch{1}{log(logn)} [/mm] und [mm] plus\bruch{1}{log(logn)} [/mm]
aber muss ich denn wissen wo gegen [mm] \bruch{1}{log(logn)} [/mm] geht ?ich weiß es nicht!
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Hallo nochmal,
> zu 2. mit der leibnitzkrit. folgt divergenz da einmal
> [mm]minus\bruch{1}{log(logn)}[/mm] und [mm]plus\bruch{1}{log(logn)}[/mm]
> aber muss ich denn wissen wo gegen [mm]\bruch{1}{log(logn)}[/mm]
> geht ?ich weiß es nicht!
Das ist Unsinn, es müssen beim Leibnizkriterium 3 Bedingungen für Konvergenz erfüllt sein. Welche?
Schreibe die mal hier auf und untersuche sie eines nach dem anderen ...
Eine Abschätzung für den Nenner brauchst du hier gar nicht.
Aber eine, die man ansonsten oft verwenden kann ist zB. [mm] $\ln(n)
Gruß
schachuzipus
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Hallo Marie,
> zu 3. mit der quotientenkrit. komme ich auf [mm]n\2[/mm] <1 für n =0 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Lies dir mal selber diesen Satz laut vor ...
> , denn 0<1 die reihe konvergiert ???
Ich vermute mal, du meinst hier, dass du berechnet hast (Rechenschritte wären ganz schön  ), dass [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0$ [/mm] ist.
Das habe ich auch erhalten, und damit ist die Reihe in der Tat konvergent!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
zu 3. ich habe mich vertippt es sollte n/2 <1 sein und das ist 0<1 konvergent! tschuldigung!
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Hallo,
Verschreiber sind kein Problem, aber da scheint mir trotzdem was nicht zu stimmen.
Wofür hast du [mm] $\frac{n}{2}$ [/mm] heraus?
Du musst mit dem QK diesen Grenzwert berechnen, der muss ne feste Zahl<1 ergeben, damit die Reihe konvergent ist.
Vllt. ist es im Sinne des besseren Verständnisses ganz gut, wenn du deine Rechnung mal postest, es sind ja nur 2-3 Schritte ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
zu 4. komme ich auf [mm] 2-\wurzel{n} [/mm] und weiter weiß ich nicht!
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Hallo nochmal,
> zu 4. komme ich auf [mm]2-\wurzel{n}[/mm] und weiter weiß ich nicht!
Wie kommst du auf das [mm] $\sqrt{n}$?
[/mm]
In der Aufgabenstellung steht doch [mm] $(2-\red{\sqrt{2}})^n$
[/mm]
Darauf das Wurzelkriterium angewandt, ergibt doch den GW [mm] $2-\sqrt{2}<1$
[/mm]
Also auch hier Konvergenz
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mi 09.07.2008 | | Autor: | marie11 |
zu 4. tschuldigung wieder vertippt ich meinte schon [mm] \wurzel{2}
[/mm]
:) liebe grüße
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