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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 25.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Man berechne:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n + (-3^n)}{7^n} [/mm] |
hallo an alle,
also die lösung soll sein:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n + (-3^n)}{7^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5}{7}^n [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-3}{7}^n [/mm]
hoch n gilt für nenner und zähler, habs nicht hinbekommen. So, bis hierhin verstehe es.
aber dann im nächsten Schritte taucht -2 hinter dem ganzen auf, woher kommt die???
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{5}{7}^n+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{-3}{7}^n [/mm] - 2
und das verstehe ich nicht!
dann gehts weiter mit der schreibweise:
= [mm] \bruch{1}{1- \bruch{5}{7}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+ \bruch{3}{7}} [/mm] -2
die schreibweise verstehe ich auch, mich stört halt diese -2.
als ergebnis kommt dann [mm] \bruch{11}{5}
[/mm]
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
und freue mich auf jede erklärung für die "geheimnisvolle 2" 
lieben gruß!
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> Man berechne:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n + (-3^n)}{7^n}[/mm]
> hallo an
> alle,
>
> also die lösung soll sein:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{5^n + (-3^n)}{7^n}[/mm] =
> [mm]\summe_{\red{n=1}}^{\infty} \left(\bruch{5}{7}\right)^n + \summe_{\red{n=1}}^{\infty} \left(\bruch{-3}{7}\right)^n[/mm]
>
> So, bis hierhin verstehe es.
>
> aber dann im nächsten Schritte taucht -2 hinter dem ganzen
> auf, woher kommt die???
>
> [mm]\summe_{\red{n=0}}^{\infty}\left(\bruch{5}{7}\right)^n+\summe_{\red{n=0}}^{\infty}\bruch{-3}{7}^n - 2[/mm]
>
> und das verstehe ich nicht!
Der Anfang der Summation ist von $n=1$ auf $n=0$ geändert worden. Damit sich der Wert des Gesamtausdruckts nicht ändert, müssen deshalb die beiden deswegen dazugenommenen Terme [mm] $\left(\bruch{5}{7}\right)^0$ [/mm] und [mm] $\left(\bruch{-3}{7}\right)^0$, [/mm] die beiden den Wert $1$ haben, subtrahiert werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Fr 25.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
ok, aber wieso wurde das dann überhaupt geändert, hätte man es nicht bei n= 1 lassen können? :-//
also, ich hab nicht den sinn darin verstanden..
also, muss ich das bei so einer rechnung immer so machen?
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> ok, aber wieso wurde das dann überhaupt geändert, hätte man
> es nicht bei n= 1 lassen können? :-//
Nein, falls man den Wert der "geometrischen Reihe" in der Form [mm] $\sum^\infty_{\red{n=0}}q^n=\frac{1}{1-q}$ [/mm] gelernt hat. Dieses Manöver war also nur nötig, um die beiden unendlichen Summen auf eine Form zu bringen, die dieser exakten Form der geometrischen Reihe entspricht. Natürlich hätte man auch so überlegen können: [mm] $\sum^\infty_{\red{n=1}} q^n=q\cdot\sum^\infty_{\red{n=1}} q^{n-1}=q\cdot\sum^\infty_{\red{n=0}} q^n=q\cdot\frac{1}{1-q}$.
[/mm]
> also, ich hab nicht den sinn darin verstanden..
>
> also, muss ich das bei so einer rechnung immer so machen?
Wenn Du die Formel für die Summe der geometrischen Reihe in der Form [mm] $\sum^\infty_{\red{n=0}} q^n=\frac{1}{1-q}$ [/mm] anwenden willst, selbstveständlich schon.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hier kann man so rechnen, wie es somebody getan hat, aber es geht natürlich auch so:
Man beachte, dass für $|z|<1$ alle im folgenden auftretenden Reihen konvergieren:
Es gilt
[mm] $\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}$
[/mm]
Also folgt (beachte, dass stets [mm] $z^0=1$):
[/mm]
[mm] $1+\sum_{k=1}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\*)$ $\sum_{k=1}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}-1$
[/mm]
Im Endeffekt kann man dann auch noch testen, ob die Gleichung
[mm] $\frac{1}{1-z}-1=z*\frac{1}{1-z}$
[/mm]
wirklich stimmt, denn das Ergebnis linkerhand folgt aus meiner Rechnung für [mm] $\sum_{k=1}^\infty z^k$, [/mm] das rechterhand aus somebodys, aber das tut's dann auch. Nur, wenn Du Dir Deine Rechnung anguckst, dann siehst Du, dass meine "Herleitung" zweimal angewendet wurde, und daher steht da auch diese $-2$, die man mittels [mm] $(\*)$ [/mm] sofort erklären kann.
Z.B. gilt nach [mm] $(\*)$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{5}{7}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{5}{7}}-1$
[/mm]
Und analoges erhälst Du für die andere Reihe, wenn man die beiden Reihen dann addiert, so addiert man dabei also auch $-1+(-1)=-2$
P.S.:
Allgemein beachte einfach den folgenden Trick:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] sei eine in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Reihe, es sei [mm] $\underbrace{A}_{\in \IR}=\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] der Wert der Reihe (beachte: $A [mm] \not= \pm \infty$). [/mm]
Dann gilt für jedes $N [mm] \in \IN_0$:
[/mm]
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^N a_n+\sum_{n=N+1}^\infty a_n$, [/mm] d.h.:
[mm] $\sum_{n=N+1}^\infty a_n=\sum_{n=0}^\infty a_n -\sum_{n=0}^N a_n=A-\sum_{n=0}^N a_n$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Fr 25.01.2008 | | Autor: | howtoadd |
ok, dankeschön für die beiden erklärungen, jetzt kann ich das nachvollziehen
dankeschön!
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