konvergenz einer Folge/Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | die Folge [mm] an=\vektor{\cos(\pi/n) \\ \sin(\pi/n)} [/mm] sei für $n [mm] \ge [/mm] 1$ definiert.
konvergiert die Folge an?
Konvergieren die Reihen
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/n*|a_n|
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/n*a_n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit Folgen habe ich an sich kein Problem, aber diese Darstellung (Vektor) hat mich jetzt sehr verunsichert.
Wann konvergiert denn eine mehrdimensionale Folge? Etwa, wenn beide Folgen konvergieren?
Für ausreichend große n wäre es ja dann
[mm] n\to\infty: a_n=\vektor{1 \\ 0} [/mm] .
Grüße
Christoph
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> Wann konvergiert denn eine mehrdimensionale Folge? Etwa,
> wenn beide Folgen konvergieren?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist so, wie Du vermutest. Beide Folgen müssen konvergieren.
>
> Für ausreichend große n wäre es ja dann
>
> [mm]n \to \infty: a_n=\vektor{1 \\ 0}[/mm] .
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke! :)
Grüße
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
jetzt muss ich leider doch noch einmal nachfragen ;)
wie schaut denn die n-te Partialsumme eines solchen Ausdrucks aus (explizit), bzw wie gebe ich dann den Wert der Summe an?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christoph,
es ist ja [mm] $a_k=\vektor{\cos(\pi/k) \\ \sin(\pi/k)}=\vektor{a^{(1)}_k\\a^{(2)}_k}$, [/mm] $k [mm] \in \IN$
[/mm]
Also ist für $n [mm] \in \IN$ [/mm] bei b) dann die n-te Partialsumme gegeben durch
[mm] $\summe_{k=1}^n \frac{1}{k} [/mm] * [mm] a_k=\summe_{k=1}^n \frac{1}{k} [/mm] * [mm] \vektor{a^{(1)}_k\\a^{(2)}_k}=\vektor{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} a^{(1)}_k\\\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} a^{(2)}_k}=\vektor{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \cos\left(\frac{\pi}{k}\right)\\ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sin\left(\frac{\pi}{k}\right)}$
[/mm]
Damit ist die Frage, ob [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} [/mm] * [mm] a_k$ [/mm] mit [mm] $a_k$ [/mm] wie oben, konvergiert, äquivalent zu der Frage, ob die beiden Reihen
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \cos\left(\frac{\pi}{k}\right)$, $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sin\left(\frac{\pi}{k}\right)$
[/mm]
(in [mm] $(\IR,d_{|.|})$) [/mm] konvergieren.
(Es gilt nämlich im [mm] $\IR^m$ [/mm] mit festen $m [mm] \in \IN$:
[/mm]
Eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IR^m$ [/mm] ist genau dann konvergent (bzgl. der euklidischen Metrik des [mm] $\IR^m$), [/mm] wenn die einzelnen "Koordinaten-Folgen" von [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ $\underline{\mbox{alle}}$ [/mm] in [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] konvergieren.
Also:
Mit [mm] $x_n=\vektor{x^{(1)}_n\\.\\.\\.\\x^{(m)}_n} \in \IR^m$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] sind damit die Folgen [mm] $(x^{(r)}_n)_{n \in \IN}$ [/mm] für $r=1,...,m$ gemeint.
[mm] $\to$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Bemerkung 8.17. (mit einer etwas anderen Notation für die "Koordinatenfolgen"))
Analoges kannst Du dir bei a) überlegen:
Da kann man die gleichwertige Frage stellen, ob die beiden Reihen:
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \vmat{\cos\left(\frac{\pi}{k}}\right)$, $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \vmat{\sin\left(\frac{\pi}{k}}\right)$
[/mm]
konvergieren.
Edit:
Das war natürlich Quatsch, ich hätte nochmal hingucken sollen. Es geht ja bei a) gar nicht um die Reihe über [mm] $\vektor{\frac{1}{k}| \cos(\pi/k)| \\ \frac{1}{k} |\sin(\pi/k)|}$, [/mm] sondern um die über [mm] $\frac{1}{k}|a_k|$, [/mm] was ja etwas ganz anderes ist. Sorry! Leopold hat Dir da ja aber nun einen guten Hinweis gegeben!
Übrigens:
Nach dem Wert der Reihen ist nicht gefragt, nur nach dem Konvergenzverhalten. I.a. kann man oft die Frage der Konvergenz mit "Ja" beantworten, ohne den Reihenwert explizit angeben zu können (da bedarf es oft weiterer Hilfsmittel).
Gruß,
Marcel
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Ein paar Dinge vorweg, was korrekte Schreibweisen angeht. Das eine ist wohl nur ein Schreibfehler: [mm]i[/mm] statt [mm]n[/mm] als Summationsindex. Dagegen sollte man beim Limes schon sorgfältiger sein:
[mm]\lim_{n \to \infty} a_n = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] oder auch: [mm]a_n \to \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty[/mm]
So, wie du es geschrieben hast, geht es jedenfalls nicht.
Jetzt zum Eigentlichen.
Die Aufgabe a) sollte keine Schwierigkeiten machen. Beachte den trigonometrischen Pythagoras.
Bei b) kannst du die beiden Koordinatenreihen betrachten. Beide müssen konvergieren, wenn die Vektorreihe konvergieren soll. In der ersten Koordinate geht es um
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \, \cos \frac{\pi}{n} = -1 + \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n} \, \cos \frac{\pi}{n}[/mm] ,
in der zweiten um
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \, \sin \frac{\pi}{n} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \, \sin \frac{\pi}{n}[/mm]
Und jetzt beachte die Abschätzungen
[mm]\cos t \geq \frac{1}{2}[/mm] für [mm]0 \leq t \leq \frac{\pi}{3}[/mm]
und
[mm]\sin t \leq t[/mm] für [mm]t \geq 0[/mm] (Tangente an den Sinusgraphen im Ursprung)
Sie helfen dir, die richtigen Entscheidungen zu treffen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
also [mm] |a_{n}|=\wurzel{a_{n1}²+a_{n2}²}=1
[/mm]
da sin²x+cos²x=1
das ist doch der geometrische Pythagoras.
dann wäre [mm] \summe_{n=1}^{n}an [/mm] Divergent
deine Hilfe zur Abschätzung kann ich leider nicht verstehen.
ich betrachte also beide "Koordinaten-Reihen" gesondert.
wobei die Folge cos(1/n) und sin(1/n) beschränkt sind ( der cosinus von [mm] \pi/2 [/mm] ist ja 0, der sinus 1).
die Tangente in [mm] \pi/2 [/mm] ist beim Cosinus negativ und wird mit steigendem n "weniger negativ), beim Sinus steigt sie mit zunehmendem n
Leider kann ich daraus noch keinen Schluss ziehen...
Danke an Alle für die tolle Hilfe hier! :)
Grüße
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Wegen [mm]\cos t \geq \frac{1}{2}[/mm] für [mm]0 \leq t \leq \frac{\pi}{3}[/mm] (Cosinuskurve zeichnen!) folgt für alle ganzen Zahlen [mm]N \geq 3[/mm]:
[mm]\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \, \cos \frac{\pi}{n} = -1 + \sum_{n=3}^N \frac{1}{n} \, \cos \frac{\pi}{n} \geq -1 + \frac{1}{2} \sum_{n=3}^N \frac{1}{n}[/mm]
Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt die Divergenz der vorliegenden Reihe.
War doch nicht schwer!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Fr 01.02.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Super, jetzt habe sogar ich es verstanden (und das heißt was) 
lg
Chris
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