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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Mo 04.10.2010 | | Autor: | egernia |
| Aufgabe | konvergenzradius berechnen:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{x^{n}}}
[/mm]
als erstes habe ich nun folgenden offenbar falschen weg eingeschlagen:
1.) [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{x^{n}}} [/mm] einfach "ausgerechnet" [mm] r=\bruch{1}{x}
[/mm]
2.)ein wenig tüfteln ist mir folgender grenzwert eingefallen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] =1
also sollte ja auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{x} [/mm] =1 sein
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{x})^{n} =1^{n}=1 [/mm] |
meine frage nun: ist 2. erstmal richtig? warum ist es 1. nicht? das war für mich naheliegender.
danke vorab für eure hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Huhu,
generell hast du mit dem reinen Ausrechnen deines Grenzwerts recht.
Es gilt: $ \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{x^{n}}} = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x} = \bruch{1}{x}$
Dein "zweiter" Weg, ist schlichtweg falsch.
Ich vermute, du hast die Formel zur Berechnung des Konvergenzradius falsch verwand.
Es gilt nämlich nicht:
$ r=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{x^{n}}} $
sondern:
$ r=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{|a_n|} $
Korrekterweise heisst es auch:
$ r=\limsup_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{|a_n|} $
Du hast vermutlich einfach falsch eingesetzt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mo 04.10.2010 | | Autor: | egernia |
...entschuldige. ich bin schon mittendrin eingestiegen. es handelt sich um diese reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n}
[/mm]
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Hallo Christian und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> ...entschuldige. ich bin schon mittendrin eingestiegen. es
> handelt sich um diese reihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
Ok, das ist die geometrische Reihe
Schreibe sie als [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}1\cdot{}x^n[/mm]
Die allg. Form einer Potenzreihe mit Entwicklungsstelle [mm]x_0[/mm] ist ja [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n[/mm]
Damit ist [mm]x_0=0[/mm] und [mm]a_n=1[/mm] und zu berechnen [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1}}[/mm]
Da kommt natürlich 1 raus und damit hast du Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm]
Wenn du magst, untersuche mal, wie es am Rand des Konvergenzintervalls aussieht, also für [mm]|x|=1[/mm], dh. [mm]x=\pm 1[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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