konvergiert die Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | | konvergiert die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)}? [/mm] |
Ich habe das ganze mal in Partialsummen zerlegt:
[mm] \bruch{1}{k(k+1)(k+2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k(k+2)}
[/mm]
nach Definition konvergiert/divergiert eine Reihe, falls die Folge der Partialsummen konvergiert/divergiert.
Meine Frage:
Was genau mache ich jetzt mit meinen Partialsummen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MissRHCP,
> [mm]\bruch{1}{k(k+1)(k+2)} = \bruch{1}{k} - \bruch{1}{k+1} - \bruch{1}{k(k+2)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun gut, es gilt ja jetzt:
[mm]s_n = \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)} = \summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{1}{k} - \bruch{1}{k+1} - \bruch{1}{k(k+2)}\right)[/mm]
Berechne [mm] s_n [/mm] einfach mal 
Tip: Summe auseinanderziehen, mit Indexverschiebung fallen bei den vorderen Summen die meisten Teile weg, die hintere musst du natürlich wieder per Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist aber alles nicht so schwer, nur ein bisschen Schreibarbeit.
Kontrollergebnis:
[mm]s_n = \bruch{1}{4} - \bruch{1}{2(n + 1)(n + 2)}[/mm]
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
was ist denn Index-Verschiebung?
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Einfaches Beispiel:
[mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{(k+1)} = \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k}[/mm]
Also: Man erhöht den Anfangs- und Endlaufwert um 1 und senkt dafür die Laufvariable 1 ab.
Wie man leicht erkennt, sind die Summen identisch, allerdins könnte ich letztere jetzt von einer Summe mit [mm] \bruch{1}{k} [/mm] im Summanden abziehen, was bei der ersten nicht geht.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
ok...Danke sehr...jetzt seh ich es
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
Ich habe mich vorhin verrechnet, habe ich gerade gesehen...aber ich komme so absolut nichtweiter.
Bitte leih mir doch mal ds kleine MatheOrakel links neben deinem Rechner ;)
Mal im ernst. Ich brauch noch nen kleinen Tip. Ich muss nämlich bis 18:00Uhr fertig sein.
sry
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Was fürn Tip?
Ich weiss ja nicht wo du hängst
Schreib deinen Weg doch mal hier rein, dann kann man dir auch helfen......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
[mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)(k+2)}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k(k+2)}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1}-\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k+1}-\summe_{k=1}^{n}-\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}
[/mm]
[mm] =1-\summe_{k=1}^{n}\bruch\bruch{1}{k(k+2)}
[/mm]
und hier stecke ich fest ich finde keinen partialbruch/summe? für [mm] \bruch{1}{k(k+2)}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mi 11.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \bruch{1}{k*(k+2)}=\bruch{a}{k}+\bruch{b}{k+2} [/mm] daraus ak+2a+bk=1
d.h. 2a=1; a+b=0 so findet man immer ne partialbruchzerlegung.
übrigens, du hast in deiner Summe das n+1 te glied beim subtrahieren vergessen!
Gruss leduart
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