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Guten Tag,
Ich soll zeigen, dass folgende Reihe konvergiert:
$$ [mm] \sum_{i=1}^\infty \bruch{1}{\wurzel{\log(i)}i^{\alpha^2}} [/mm] $$
wobei $ [mm] \alpha [/mm] > 1$.
Ich wollte dies mittels Cauchyschem Verdichtungskriterium zeigen:
$ [mm] \sum_{i=1}^\infty 2^i \bruch{1}{\wurzel{\log(2^i)}(2^i)^{\alpha^2}} =\bruch{1}{\wurzel{\log{2}}}\sum_{i=1}^\infty \bruch{1}{\wurzel{i}}2^{i(1-\alpha^2)}$
[/mm]
Leider sehe ich nicht, wieso dies konvergieren sollte. Für Erklärungen wäre ich froh.
Liebe Grüsse
marianne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Sa 31.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag,
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> Ich soll zeigen, dass folgende Reihe konvergiert:
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> [mm]\sum_{i=1}^\infty \bruch{1}{\wurzel{\log(i)}i^{\alpha^2}}[/mm]
>
> wobei [mm]\alpha > 1[/mm].
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> Ich wollte dies mittels Cauchyschem Verdichtungskriterium
> zeigen:
>
> [mm]\sum_{i=1}^\infty 2^i \bruch{1}{\wurzel{\log(2^i)}(2^i)^{\alpha^2}} =\bruch{1}{\wurzel{\log{2}}}\sum_{i=1}^\infty \bruch{1}{\wurzel{i}}2^{i(1-\alpha^2)}[/mm]
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> Leider sehe ich nicht, wieso dies konvergieren sollte. Für
> Erklärungen wäre ich froh.
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne
Mit dem Majorantenkrit. ist es ganz einfach:
Für i [mm] \ge [/mm] 4 ist log(i) [mm] \ge [/mm] 1, also
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\log(i)}i^{\alpha^2}} \le \bruch{1}{i^{\alpha^2}}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 31.12.2011 | | Autor: | marianne88 |
Guten Tag Fred
Herzlichen Dank für deine Hilfe. Aber eigentlich stimmt deine Aussage schon für $ i=3$, oder etwa nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 So 01.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag Fred
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> Herzlichen Dank für deine Hilfe. Aber eigentlich stimmt
> deine Aussage schon für [mm]i=3[/mm], oder etwa nicht?
Stimmt
FRED
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