konvex < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff der Konvexität und habe Fragen zu zwei Bemerkungen aus der Vorlesung.
1. Bemerkung:
f ist konvex genau dann, wenn für alle [mm] x, y, z \in J [/mm] ( J ist ein Intervall) mit [mm] x < z < y [/mm] gilt:
[mm] \bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z } [/mm]
2. Bemerkung :
Ist f konvex, so gilt für all [mm] x, y, x \in J [/mm] mit [mm] x < z < y : [/mm]
[mm] \bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(x) }{y - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z } [/mm].
So, und nun zu meinen Fragen:
Leider haben wir diese Bemerkungen nicht bewiesen , nur so in der Vorlesung stehen, und diese werden später benutzt, um bestimmt Sätze zu beweisen.
Sehe ich das richtig, wenn ich die 1. Bemerkung so interpretiere:
f ist konvex, genau dann wenn f' monoton wachsend auf dem Intervall ist ???
Und bei der 2. Bemerkung habe ich irgendwie gar keinen Draht dazu? Der mittlere Teil der Ungleichung ist mir absolut nicht einleuchtend...
Hoffe , dass mir jemand dabei behilflich sein kann!
Viele liebe Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 22.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Guten Abend!
>
> Ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff der Konvexität
> und habe Fragen zu zwei Bemerkungen aus der Vorlesung.
>
> 1. Bemerkung:
>
> f ist konvex genau dann, wenn für alle [mm]x, y, z \in J[/mm] ( J
> ist ein Intervall) mit [mm]x < z < y[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z }[/mm]
>
>
> 2. Bemerkung :
>
> Ist f konvex, so gilt für all [mm]x, y, x \in J[/mm] mit [mm]x < z < y :[/mm]
>
> [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(x) }{y - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z } [/mm].
>
>
> So, und nun zu meinen Fragen:
>
> Leider haben wir diese Bemerkungen nicht bewiesen , nur so
> in der Vorlesung stehen, und diese werden später benutzt,
> um bestimmt Sätze zu beweisen.
>
> Sehe ich das richtig, wenn ich die 1. Bemerkung so
> interpretiere:
> f ist konvex, genau dann wenn f' monoton wachsend auf dem
> Intervall ist ???
Nur dann, wenn f' existiert. Ein Gegenbeispiel wäre eine nur stückweise diffbare Funktion, zum Beispiel ein Streckenzug, der aus lauter geraden Stücken besteht, aber mit Knicken an den Verbindungsstellen.
> Und bei der 2. Bemerkung habe ich irgendwie gar keinen
> Draht dazu? Der mittlere Teil der Ungleichung ist mir
> absolut nicht einleuchtend...
Multipliziere einfach alle Ungleichungen mit dem jeweiligen Hauptnenner, zum Beispiel:
[mm] \bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(x) }{y - x } \gdw (f(z) - f(x))(y - x) - (f(y) - f(x) )*(z-x) \le 0 [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Di 22.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Editiert, 22.4.08
Hallo Irmchen,
> Guten Abend!
>
> Ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff der Konvexität
> und habe Fragen zu zwei Bemerkungen aus der Vorlesung.
>
> 1. Bemerkung:
>
> f ist konvex genau dann, wenn für alle [mm]x, y, z \in J[/mm] ( J
> ist ein Intervall) mit [mm]x < z < y[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z }[/mm]
>
>
> 2. Bemerkung :
>
> Ist f konvex, so gilt für all [mm]x, y, x \in J[/mm] mit [mm]x < z < y :[/mm]
>
> [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(x) }{y - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z } [/mm].
>
>
> So, und nun zu meinen Fragen:
>
> Leider haben wir diese Bemerkungen nicht bewiesen , nur so
> in der Vorlesung stehen, und diese werden später benutzt,
> um bestimmt Sätze zu beweisen.
>
> Sehe ich das richtig, wenn ich die 1. Bemerkung so
> interpretiere:
> f ist konvex, genau dann wenn f' monoton wachsend auf dem
> Intervall ist ???
interpretiere es doch mal graphisch so, wie es da steht:
$f$ ist genau dann konvex, wenn folgendes gilt:
Für alle festen $x,y$ mit $x < y$ gilt: Wenn $z [mm] \in [/mm] (x,y)$, so ist die Steigung der Sekante durch [mm] $P_x=(x,f(x))$ [/mm] und [mm] $P_z=(z,f(z))$ [/mm] höchstens so groß wie die Steigung der Sekante durch [mm] $P_y=(y,f(y))$ [/mm] und [mm] $P_z=(z,f(z))$.
[/mm]
(Grob gesagt: Genau konvexe Funktionen haben die Eigenschaft: Wenn ich ein $z$ festhalte, den Punkt [mm] $P_z=(z,f(z))$ [/mm] des Graphen von $f$ festhalte und mich dann mit $y < z$ an $z$ nähere (also von links an $z$ nähere), so wächst die Sekantensteigung, wobei die Sekante durch [mm] $P_z$ [/mm] und [mm] $P_y=(y,f(y))$ [/mm] gegeben ist, stets. Und das gilt für jedes $z$.)
Edit: Bemerkung: Das Durchgestrichene kannst Du Dir dennoch analog überlegen, auch wenn es so nicht zu Eurer Formulierung passte, da ich dachte, es sei $x < y < z$ anstatt $x < z < y$, wie ihr hattet.
Mach' Dir hier ruhig mal ein Bilchen eines Graphen einer Funktion, die konvex ist und schau Dir die Aussage des Satzes an (z.B. [mm] $f(x)=\sqrt{x}$ [/mm] Edit: [mm] $\red{f(x)=-\sqrt{x}}$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$); [/mm] und betrachte auch mal eine nicht konvexe Funktion (z.B. [mm] $g(x)=\sin(x)$ [/mm] ist auf [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] nicht konvex.)
P.S.:
Nur, weil die Aussagen als Bemerkungen oben stehen, heißt das nicht, dass Du nicht ruhig mal selbst versuchen solltest, sie zu beweisen:
Zur 1. Bemerkung:
Sei $f$ konvex. Sind $x < z$ beide in $J$ und ist $x < y < z$, so existiert ein $r [mm] \in [/mm] (0,1)$ mit $y=r*x+(1-r)*z$. Dann gilt
$f(y)=f(rx+(1-r)z) [mm] \le [/mm] rf(x)+(1-r)f(z)$
Also
$f(y) - [mm] f(z)\le [/mm] r(f(x)-f(z))$
Wegen $y-z < 0$ folgt
$r [mm] \frac{f(x)-f(z)}{y-z} \le \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$
[/mm]
Beachtest Du nun, dass $y=rx+(1-r)z [mm] \gdw [/mm] y=r(x-z)+z [mm] \gdw \frac{1}{x-z}=\frac{r}{y-z}$, [/mm] so steht da schon:
Wenn $f$ konvex ist, so gilt für alle $x,y,z [mm] \in [/mm] J$ mit $x < y < z$ die obige Ungleichung.
Nun wird da aber eine "genau dann, wenn"-Aussage behauptet, d.h. Du kannst nun überlegen: Wenn für alle $x,y,z [mm] \in [/mm] J$ mit $x < y < z$ die dort oben stehende Ungleichung gilt, dann muss $f$ konvex sein. Ich denke, dort kann man sicher einen Beweis durch Kontraposition führen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 22.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Als erstes , danke für die beiden Antworten!
Ich bin dabei diese zu verstehen, aber es gibt einige Sachen, die ich entweder nicht verstehe, oder vielleicht nicht ganz richtig sind?!
> Hallo Irmchen,
>
> > Guten Abend!
> >
> > Ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff der Konvexität
> > und habe Fragen zu zwei Bemerkungen aus der Vorlesung.
> >
> > 1. Bemerkung:
> >
> > f ist konvex genau dann, wenn für alle [mm]x, y, z \in J[/mm] ( J
> > ist ein Intervall) mit [mm]x < z < y[/mm] gilt:
> >
> > [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z }[/mm]
> >
> >
> > 2. Bemerkung :
> >
> > Ist f konvex, so gilt für all [mm]x, y, x \in J[/mm] mit [mm]x < z < y :[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(x) }{y - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z } [/mm].
>
> >
> >
> > So, und nun zu meinen Fragen:
> >
> > Leider haben wir diese Bemerkungen nicht bewiesen , nur so
> > in der Vorlesung stehen, und diese werden später benutzt,
> > um bestimmt Sätze zu beweisen.
> >
> > Sehe ich das richtig, wenn ich die 1. Bemerkung so
> > interpretiere:
> > f ist konvex, genau dann wenn f' monoton wachsend auf
> dem
> > Intervall ist ???
>
> interpretiere es doch mal graphisch so, wie es da steht:
> [mm]f[/mm] ist genau dann konvex, wenn folgendes gilt:
> Für alle festen [mm]x,z[/mm] mit [mm]x < z[/mm] gilt: Wenn [mm]y \in (x,z)[/mm], so
> ist die Steigung der Sekante durch [mm]P_x=(x,f(x))[/mm] und
> [mm]P_z=(z,f(z))[/mm] höchstens so groß wie die Steigung der Sekante
> durch [mm]P_y=(y,f(y))[/mm] und [mm]P_z=(z,f(z))[/mm].
Hier zum Beispiel: in der Bemerkung steht [mm]x < z < y[/mm]. Wie kann ich denn dann bitte [mm]y \in (x,z)[/mm] nehmen? Oder ist das ein anderes y?
> (Grob gesagt: Genau konvexe Funktionen haben die
> Eigenschaft: Wenn ich ein [mm]z[/mm] festhalte, den Punkt
> [mm]P_z=(z,f(z))[/mm] des Graphen von [mm]f[/mm] festhalte und mich dann mit
> [mm]y < z[/mm] an [mm]z[/mm] nähere (also von links an [mm]z[/mm] nähere), so wächst
> die Sekantensteigung, wobei die Sekante durch [mm]P_z[/mm] und
> [mm]P_y=(y,f(y))[/mm] gegeben ist, stets. Und das gilt für jedes
> [mm]z[/mm].)
>
> Mach' Dir hier ruhig mal ein Bilchen eines Graphen einer
> Funktion, die konvex ist und schau Dir die Aussage des
> Satzes an (z.B. [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm]); und
> betrachte auch mal eine nicht konvexe Funktion (z.B.
> [mm]g(x)=\sin(x)[/mm] ist auf [mm][0,2\pi][/mm] nicht konvex.)
Irgendwie ist mir nicht klar, dass [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm]) konvex ist! Wenn ich mir den Graphen anschaue, dann bedeutet doch konvex, dass für je zwei Punkte [mm] x, y \in J [/mm] leigt der Graph von f auf dem Intervall [mm] \left[ x, y \right] [/mm] unterhalb der Geraden durch die Punkte [mm] (x, f(x)) [/mm] und [mm] (y, f(y) ) [/mm].
Liege ich jetzt total falsch???
> P.S.:
> Nur, weil die Aussagen als Bemerkungen oben stehen, heißt
> das nicht, dass Du nicht ruhig mal selbst versuchen
> solltest, sie zu beweisen:
>
> Zur 1. Bemerkung:
> Sei [mm]f[/mm] konvex. Sind [mm]x < z[/mm] beide in [mm]J[/mm] und ist [mm]x < y < z[/mm], so
> existiert ein [mm]r \in (0,1)[/mm] mit [mm]y=r*x+(1-r)*z[/mm]. Dann gilt
>
> [mm]f(y)=f(rx+(1-r)z) \le rf(x)+(1-r)f(z)[/mm]
>
> Also
>
> [mm]f(y) - f(z)\le r(f(x)-f(z))[/mm]
>
> Wegen [mm]y-z < 0[/mm] folgt
>
> [mm]r \frac{f(x)-f(z)}{y-z} \le \frac{f(y)-f(z)}{y-z}[/mm]
>
> Beachtest Du nun, dass [mm]y=rx+(1-r)z \gdw y=r(x-z)+z \gdw \frac{1}{x-z}=\frac{r}{y-z}[/mm],
> so steht da schon:
> Wenn [mm]f[/mm] konvex ist, so gilt für alle [mm]x,y,z \in J[/mm] mit [mm]x < y < z[/mm]
> die obige Ungleichung.
>
> Nun wird da aber eine "genau dann, wenn"-Aussage behauptet,
> d.h. Du kannst nun überlegen: Wenn für alle [mm]x,y,z \in J[/mm] mit
> [mm]x < y < z[/mm] die dort oben stehende Ungleichung gilt, dann
> muss [mm]f[/mm] konvex sein. Ich denke, dort kann man sicher einen
> Beweis durch Kontraposition führen...
>
> Gruß,
> Marcel
Die Rückrichtung versuche ich jetzt schon zu zeigen ,aber es gelingt mir nicht!Wäre für einen Tipp dankbar, wie ich anfangen soll!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 22.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
> Guten Tag!
>
> Als erstes , danke für die beiden Antworten!
> Ich bin dabei diese zu verstehen, aber es gibt einige
> Sachen, die ich entweder nicht verstehe, oder vielleicht
> nicht ganz richtig sind?!
>
> > Hallo Irmchen,
> >
> > > Guten Abend!
> > >
> > > Ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff der Konvexität
> > > und habe Fragen zu zwei Bemerkungen aus der Vorlesung.
> > >
> > > 1. Bemerkung:
> > >
> > > f ist konvex genau dann, wenn für alle [mm]x, y, z \in J[/mm] ( J
> > > ist ein Intervall) mit [mm]x < z < y[/mm] gilt:
> > >
> > > [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z }[/mm]
> > >
> > >
> > > 2. Bemerkung :
> > >
> > > Ist f konvex, so gilt für all [mm]x, y, x \in J[/mm] mit [mm]x < z < y :[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\bruch{f(z) - f(x) }{z - x } \le \bruch{ f(y) - f(x) }{y - x } \le \bruch{ f(y) - f(z) }{y - z } [/mm].
>
> >
> > >
> > >
> > > So, und nun zu meinen Fragen:
> > >
> > > Leider haben wir diese Bemerkungen nicht bewiesen , nur so
> > > in der Vorlesung stehen, und diese werden später benutzt,
> > > um bestimmt Sätze zu beweisen.
> > >
> > > Sehe ich das richtig, wenn ich die 1. Bemerkung so
> > > interpretiere:
> > > f ist konvex, genau dann wenn f' monoton wachsend
> auf
> > dem
> > > Intervall ist ???
> >
> > interpretiere es doch mal graphisch so, wie es da steht:
> > [mm]f[/mm] ist genau dann konvex, wenn folgendes gilt:
> > Für alle festen [mm]x,z[/mm] mit [mm]x < z[/mm] gilt: Wenn [mm]y \in (x,z)[/mm],
> so
> > ist die Steigung der Sekante durch [mm]P_x=(x,f(x))[/mm] und
> > [mm]P_z=(z,f(z))[/mm] höchstens so groß wie die Steigung der Sekante
> > durch [mm]P_y=(y,f(y))[/mm] und [mm]P_z=(z,f(z))[/mm].
>
> Hier zum Beispiel: in der Bemerkung steht [mm]x < z < y[/mm]. Wie
> kann ich denn dann bitte [mm]y \in (x,z)[/mm] nehmen? Oder ist das
> ein anderes y?
nein, das ist natürlich ein Fehler meinerseits, da ich wegen $x,y,z$ dachte, dass auch $x < y < z$ (und dann stimmt auch der Rest meines Beitrages natürlich nicht mehr, dass genau konvexe Funktionen die Eigenschaft hätten... (zumindest bin ich mir da nicht sicher)).
Dann hast Du natürlich Recht: Ganz so einfach geht das nicht. Man muss zunächst mal $z=r*x+(1-r)*y$ schreiben und dann gucken. Aber so spontan sehe ich das selbst nicht, wie man das dann folgern kann...
> > (Grob gesagt: Genau konvexe Funktionen haben die
> > Eigenschaft: Wenn ich ein [mm]z[/mm] festhalte, den Punkt
> > [mm]P_z=(z,f(z))[/mm] des Graphen von [mm]f[/mm] festhalte und mich dann mit
> > [mm]y < z[/mm] an [mm]z[/mm] nähere (also von links an [mm]z[/mm] nähere), so wächst
> > die Sekantensteigung, wobei die Sekante durch [mm]P_z[/mm] und
> > [mm]P_y=(y,f(y))[/mm] gegeben ist, stets. Und das gilt für jedes
> > [mm]z[/mm].)
> >
> > Mach' Dir hier ruhig mal ein Bilchen eines Graphen einer
> > Funktion, die konvex ist und schau Dir die Aussage des
> > Satzes an (z.B. [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm]); und
> > betrachte auch mal eine nicht konvexe Funktion (z.B.
> > [mm]g(x)=\sin(x)[/mm] ist auf [mm][0,2\pi][/mm] nicht konvex.)
>
> Irgendwie ist mir nicht klar, dass [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] auf
> [mm][0,\infty)[/mm]) konvex ist! Wenn ich mir den Graphen anschaue,
> dann bedeutet doch konvex, dass für je zwei Punkte [mm]x, y \in J[/mm]
> leigt der Graph von f auf dem Intervall [mm]\left[ x, y \right][/mm]
> unterhalb der Geraden durch die Punkte [mm](x, f(x))[/mm] und [mm](y, f(y) ) [/mm].
>
> Liege ich jetzt total falsch???
nein, das war Unsinn meinerseits. Die Wurzelfunktion ist konkav. Aber dann betrachte halt einfach $x [mm] \mapsto -\sqrt{x}$ [/mm] 
Und Sorry für die Patzer!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Ungleichung...
Hallo nochmal,
schauen wir uns die erste Ungleichung noch einmal an, und zwar die Aussage (auf's Wesentliche reduziert):
[mm] $\black{f}$ [/mm] konvex [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Mit $x < z < y$ folgt [mm] $\frac{f(z)-f(x)}{z-x} \le \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$
[/mm]
Hier gilt mit [mm] $\black{z=r*y+(1-r)*x=x+r*(y-x)}$, [/mm] wobei $0 < r < 1$ geeignet (insbesondere behalten wir uns die "geometrischen" Beziehungen:
(I) [mm] $\frac{z-x}{y-x}=r$
[/mm]
(II) [mm] $\frac{y-z}{y-x}=1-r$, [/mm] woraus insbesondere folgt
(III) [mm] $\frac{1-r}{r}=\frac{y-z}{z-x}$):
[/mm]
[mm] $\frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\frac{f(z)-f(x)}{y-z}*\frac{y-z}{z-x}=\frac{1-r}{r}*\frac{f(z)-f(x)}{y-z}$
[/mm]
[mm] $\le \frac{1-r}{r}*\frac{r*f(y)+(1-r)f(x)-f(x)}{y-z}=\frac{1-r}{r}*\frac{r(f(y)-f(x))}{y-z}=\frac{(1-r)(f(y)-f(x))}{y-z}$
[/mm]
Es ist also hinreichend, die Ungleichung
$(1-r)(f(y)-f(x)) [mm] \le [/mm] f(y)-f(z)$
zu begründen. Es gilt
$(1-r)(f(y)-f(x)) [mm] \le [/mm] f(y)-f(z)$
[mm] $\gdw \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \le \frac{f(y)-f(z)}{(1-r)(y-x)}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \le \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$ $(\star)$
[/mm]
Die letzte Ungleichung [mm] $(\star)$ [/mm] folgt aber aus der Konvexität von $f$ (ich habe diesen Beweis halt schon einmal fälschlicherweise (mit anderen Bezeichnungen) im obigen Beitrag geführt).
[Falls Dir das nicht klar sein sollte, hier der Beweis mit den hier vorherrschenden Bezeichnungen:
Erinnerung:
Hier war $z=r*y+(1-r)x$ mit einem $0 < r < 1$.
Damit (beachte: weil [mm] $\black{f}$ [/mm] konvex: $f(z) [mm] \le [/mm] r*f(y)+(1-r)*f(x)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-f(z) [mm] \ge [/mm] -r*f(y)-(1-r)*f(x)$; beachte zudem $y-z > 0$):
[mm] $\frac{f(y)-f(z)}{y-z} \ge \frac{f(y)-r*f(y)-(1-r)*f(x)}{y-r*y-(1-r)*x}=\frac{(1-r)(f(y)-f(x))}{(1-r)(y-x)}=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$, [/mm] womit [mm] $(\star)$ [/mm] bewiesen ist.]
Gruß,
Marcel
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