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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mi 13.05.2009 | | Autor: | sky1988 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass es für jede zweimal differenzierbare Funktion f:(0,1)->R mit sup |f''(x)| < 1 konvexe Funktionen g,h: (0,1)->R gibt mit f=g-h. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider habe ich nicht so wirklich einen Plan, wie man am besten an diese Aufgabe ran geht. D.h. ich habe Probleme einen angemessenen Ansatz zu finden.
Da bei konvexen Funktionen die zweite Ableitung >0 ist, habe ich versucht das irgendwie einzubringen aber leider bis jetzt erfolglos. Warum ist die Voraussetzung, dass |f''(x)| < 1 ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei s = sup{ |f''(x)| : x [mm] \in [/mm] (0,1) }. Dann:
$-s [mm] \le [/mm] f''(x)$, also $f''(x)+s [mm] \ge [/mm] 0$ für jedes $x [mm] \in [/mm] (0,1)$
Setze
$g(x) = f(x) [mm] +\bruch{1}{2}sx^2$ [/mm] und $h(x) [mm] =\bruch{1}{2}sx^2$
[/mm]
Dann ist $f= g-h$,
$g''(x) = f''(x)+s [mm] \ge [/mm] 0$ und $h''(x) = s [mm] \ge [/mm] 0$ auf (0,1)
Damit sind g und h auf (0,1) konvex.
FRED
P.S.: Die Vor. $s<1$ wurde in obigem Beweis nicht benutzt. Entscheidend ist nur, dass die 2. Ableitung von f auf (0,1) nach unten beschränkt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Do 14.05.2009 | | Autor: | sky1988 |
DANKE!
Total logisch....
schade, dass ich nicht selbst drauf gekommen bin.
sky1988
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Do 14.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> DANKE!
> Total logisch....
> schade, dass ich nicht selbst drauf gekommen bin.
Beim nächsten Mal .....
FRED
> sky1988
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