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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich hab hier zwei Aufgaben:
1. im K [mm] \subset \IR^{2} [/mm] ist das abgeschlossene Einheitsquadrat gegeben. mit den Eckpunkten (0,0),(1,0),(0,1),(1,1). Zeigen Sie, dass (1,1) Extrempunkt von K ist.
Hab mir überlegt, das es zwei möglichkeiten gibt um dies zu zeigen.
Eine, ich stelle die Menge als Zulässigenpolyeder eines Linearen Optimierungsprogramms vor und maximiere x1+x2 ... dann kommt (1,1) als Optimum raus.
Der andere Weg müsste doch sein, dass ich zeige, dass (1,1) nicht als Linearkombination anderer Punkte aus K darstellbar ist. Aber wie mache ich dass? Hab superlange rumgerechnet komm aber auf nix richtiges.
Hat hier einer ne Hilfestellung für mich.
Die 2te Aufgabe ist folgende:
Es seien n,m [mm] \in \IN [/mm] und [mm] A \in \IR^{m \times n } [/mm] . Weiterhin sei [mm] f : \IR^{n} \to \IR [/mm] eine konvexe Funktion und [mm] g : \IR^{m} \to \IR [/mm] definiert als [mm] g(y) = f(Ay) [/mm] . Zeigen Sie, dass auch g konvex ist.
Mit dieser Aufgabe komme ich leider gar nicht klar. Wie kann ich dies zeigen? Bitte gebt mir zum Ansatz einen tipp.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Toyo
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Hallo,
hier ist ein Ansatz für die 2. Aufgabe:
Es seien n,m $ [mm] \in \IN [/mm] $ und $ A [mm] \in \IR^{m \times n } [/mm] $ . Weiterhin sei $ f : [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] $ eine konvexe Funktion und $ g : [mm] \IR^{m} \to \IR [/mm] $ definiert als $ g(y) = f(Ay) $ . Zeigen Sie, dass auch g konvex ist.
Def.: f : [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] heisst konvex, falls [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^n [/mm] , t [mm] \in [/mm] [0,1] gilt:
f(ty+(1-t)x) [mm] \le [/mm] tf(y) + (1-t)f(x).
Ausserdem brauchen wir die Linearität der Matrix A: A(ty+(1-t)x) = tA(y) + (1-t)A(x).
Setze die Def. der Konvexität für g ein:
g(ty+(1-t)x) = f(A(ty+(1-t)x))
= f(tA(y) + (1-t)A(x)) (wegen Linearität von A)
[mm] \le [/mm] t [mm] \underbrace{f(A(y))}_{=g(y)} [/mm] + (1-t) [mm] \underbrace{f(A(x))}_{=g(x)} [/mm] (Wegen Konvexität von f) ...
gruss,
logarithmus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 So 26.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Toyo,
> Hallo, ich hab hier zwei Aufgaben:
>
> 1. im K [mm]\subset \IR^{2}[/mm] ist das abgeschlossene
> Einheitsquadrat gegeben. mit den Eckpunkten
> (0,0),(1,0),(0,1),(1,1). Zeigen Sie, dass (1,1) Extrempunkt
> von K ist.
>
> Hab mir überlegt, das es zwei möglichkeiten gibt um dies zu
> zeigen.
> Eine, ich stelle die Menge als Zulässigenpolyeder eines
> Linearen Optimierungsprogramms vor und maximiere x1+x2 ...
> dann kommt (1,1) als Optimum raus.
>
> Der andere Weg müsste doch sein, dass ich zeige, dass (1,1)
> nicht als Linearkombination anderer Punkte aus K
> darstellbar ist. Aber wie mache ich dass? Hab superlange
> rumgerechnet komm aber auf nix richtiges.
> Hat hier einer ne Hilfestellung für mich.
Genau, (1,1) darf keine echte konvexe Linearkombination sein (eine echte konvexe Linearkombination ist eine mit echt positiven Koeffizienten).
Mir fällt dazu nur folgendes ein:
Angenommen, es gäbe zwei Punkte x und y innerhalb des Einheitsquadrates mit [mm] $(1,1)=\lambda*x+(1-\lambda)*y$ [/mm] und [mm] $0<\lambda,1-\lambda<1$.
[/mm]
Dann muß für [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] gelten:
[mm] $0\le x_1\le1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\lambda*x_1\le\lambda$, [/mm] da [mm] $0<\lambda<1$
[/mm]
Für [mm] $x_1<1$ [/mm] gilt sogar:
[mm] $\lambda*x_1<\lambda$
[/mm]
Nun schauen wir uns die konvexe Linearkombination an, dafür reicht schon die erste Komponentengleichung:
Falls [mm] $x_1=1$ [/mm] kann man den Widerspruch leicht herbeiführen.
Falls [mm] $x_1<1$ [/mm] haben wir:
[mm] $1=\lambda*x_1+(1-\lambda)*y_1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $1<\lambda+(1-\lambda)*y_1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $1-\lambda<(1-\lambda)*y_1$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\bruch{1-\lambda}{1-\lambda}
[mm] $\gdw$ $1
Widerspruch (der Punkt y liegt ausserhalb des Einheitsquadaders).
Viele Grüße,
Marc
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