konvexe Menge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich mal wieder.
Habe hier diese Aufgabe.
Eine abgeschlossene Menge C aus dem [mm] R^n [/mm] ist genau dann konvex, wenn mit ihren Punkten x und y auch deren Konvexkombination mit Konvexkoeffizienten [mm] a=(\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] aus dem zweidimensionalen Einheitssimplex enthällt, also wenn gilt: z(a)= [mm] (\bruch{2}{3}*x+\bruch{1}{3}*y)
[/mm]
Das dem so ist ist mir klar, denn ich habe in der vorlesung gelernt, dass eine Menge nur dann konvex ist, wenn deren Konvexkombinationen alle drinliegen. Aber wie zeige ich das und was hat die abgeschlossenheit damit zu tun?
Danke, wenn mir jemand weiterhilft.
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Hallo,
normalerweise muss für die Konvexität gelten, dass mit x und y alle tx + (1-t)y für alle t [mm] \in [/mm] [0;1] drinliegen: das ist die Verbindungsstrecke.
Hier hast Du aber nur eine(!) Möglichkeit, nämlich t = 1/3.
Dann musst Du nach dem Prinzip des Intervallhalbierungsverfahrens (hier: Drittelungsverfahren) eine dichte Teilmenge der Verbindungsstrecke von x nach y konstruieren: die Abgeschlossenheit liefert Dir dann den Rest.
Gruß, Richard
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