konvexe funktion? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mi 04.01.2006 | | Autor: | tom.bg |
| Aufgabe | Sei f : [a, b] [mm] \to [/mm] R eine konvexe Funktion, und seien x1, . . . , xn [mm] \in [/mm] [a, b]. Zeigen Sie:
Für alle [mm] \lambda_{1}, [/mm] . . . , [mm] \lambda_{n} [/mm] > 0 mit [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] =1 gilt
[mm] f(\lambda_{1}*x_{1} +...+\lambda_{n}*x_{n}) \le \lambda_{1}*f(x_{1}) [/mm] +...+ [mm] \lambda_{n}*f(x_{n}) [/mm] |
hallo
ich habe nicht das geringste ahnung was "konvexe Funktion" ist??
ich habe versuch mit ableitung aber ist nichts daraus gekommen - habe ich was falsch genacht oder muss man dass anders machen
ich bin dankbar für jede hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mi 04.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich weiss nicht, ob ihr eine andere Definition von "konvex" habt, aber im allgemeinen nennt man eine Funktion konvex auf einem Intervall I, wenn für alle x,y [mm] \in [/mm] I gilt:
[mm]f(tx+(1-t)y) <= t f(x) + (1-t) f(y) \quad \forall t\in ]0;1[ [/mm]
....und mit der Definition sollte Deine Aufgabe durch vollständige Induktion gut zu lösen sein.
Gruß
piet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 05.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Tom,
ich meine, konvexe Funktionen sind nach oben oben gekrümmte Funktionen. Z. B. e^(x) ist konvex.
Viele Grüße
Timo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 10.01.2006 | | Autor: | kuminitu |
Hallo,
kann ir zufällig jemand zeigen wie ich sowas mit vollständiger induktion mache?
irgendwie finde ich für solche aufgaben manchmal einfach keine(n)
Lösung(sansatz).
MFG
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Hallo,
ich habe die Aufgabe wie folgt gelöst, kann aber nicht mit Sicherheit sagen, ob es so korrekt ist.
Induktionsanfang: [mm] f(\lambda_1x_1) \le \lambda_1f(x_1)
[/mm]
Induktionsschritt:
Seien [mm] \lambda_{n+1} [/mm] = [mm] 1-\sum_{i=1}^n \lambda_i, \quad \lambda [/mm] := [mm] \lambda_1+\ldots+\lambda_n, \quad x:=\frac{\lambda_1}{\lambda}x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{\lambda_n}{\lambda}x_n
[/mm]
[mm] f(\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i [/mm] + [mm] \lambda_{n+1}x_{n+1}) [/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] f(\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i [/mm] + [mm] (1-\sum_{i=1}^n \lambda_i)x_{n+1})\\
[/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] f(\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)x_{n+1})\\
[/mm]
[mm] \quad \le \lambda [/mm] f(x) + [mm] (1-\lambda) f(x_{n+1})\\
[/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] (\lambda_1 [/mm] f(x) + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n [/mm] f(x) + [mm] \lambda_{n+1}f(x_{n+1})\\
[/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] \lambda_1 f(\frac{\lambda_1}{\lambda}x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{\lambda_n}{\lambda}x_n) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n f(\frac{\lambda_1}{\lambda}x_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{\lambda_n}{\lambda}x_n) [/mm] + [mm] \lambda_{n+1}f(x_{n+1})\\
[/mm]
[mm] \quad [/mm] = [mm] \lambda_1 f(x_1) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n f(x_n) [/mm] + [mm] \lambda_{n+1} f(x_{n+1})
[/mm]
Bei der ersten Ungleichung habe ich die Definition der konvexen Funktion angewendet.
Bin mir beim letzten Schritt (habe Induktionsvoraussetzung angewendet) nicht sicher, ob das so klappt.
Gruß Markus
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