konvexe punktmenge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 17.01.2007 | | Autor: | klamao |
| Aufgabe | | sei durch die gleichung ax+by+c=0 eine gerade g in [mm] R^2 [/mm] gegeben. zeigen sie mit der analytischen definition einer halbebene, dass jede halbebene von g eine konvexe punktmenge ist. |
hallo,
die definition einer halbebene ist ja entweder ax+by+c<0 oder ax+by+c>o, da sie ja entwede über-oder unterhalb von g liegt. g liegt also genau zwischen den halebenen.
die koordinaten eines punktes, der zwischen zwei punkten liegt, sind: (x1+t(x2-x1), y1+t(y2-y1))=((1-t)x1+tx2,(1-t)y1+ty2) mit 0 < t < 1, wobei x1,y1 und x2,y2 die koordinaten der punkte sind, zwischen den der punkt liegt.
wie krieg ich das jetzt auf die gerade bezogen? diese liegt ja genau wie der punkt auch zwischen zwei dingen. hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
lg
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Du setzt ja voraus, daß [mm]\left( x_1 , y_1 \right)[/mm] und [mm]\left( x_2 , y_2 \right)[/mm] einer gemeinsamen Halbebene angehören, z.B. der mit [mm]ax + by + c > 0[/mm]. Daher ist
[mm]a x_1 + b y_1 + c > 0 \, , \ \ a x_2 + b y_2 + c > 0[/mm]
vorausgesetzt. Ein Punkt der Strecke zwischen den beiden Punkten kann nun in symmetrischer Form als
[mm]s \cdot \left( x_1 , y_1 \right) + t \cdot \left( x_2 , y_2 \right)[/mm] mit [mm]s,t \geq 0[/mm] und [mm]s + t = 1[/mm]
geschrieben werden. Und jetzt setze die Koordinaten von [mm]\left( s x_1 + t x_2 , s y_1 + t y_1 \right)[/mm] in [mm]ax + by +c[/mm] ein und weise nach, daß das auch [mm]> 0[/mm] ist. Dabei mußt du so umformen, daß die Voraussetzung ins Spiel kommt. Tip: [mm]c = s c + t c[/mm] wegen [mm]s + t = 1[/mm].
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