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| Aufgabe | Seien a, b Elemente eines angeordneten Körpers K. Es wird [mm] a^{0}:=1 [/mm] gesetzt.
a) Man zeige für [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] a^{n}-b^{n}=(a-b)*\summe_{k=0}^{n-1}a^{k}*b^{n-k-1}
[/mm]
Tipp: Geometrische Summenformel
Bemerkung: Lesen Sie die Aufgabenstellung gründlich! Der angeordnete Körper ist beliebig, d.h. Sie dürfen nicht einfach von [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IQ [/mm] ausgehen. |
Ich habe die Aufgabe per Induktion gelöst. Leider habe ich weder die geometrische Summenformel (was denke ich nicht weiter schlimm ist) verwendet, noch bin ich explizit darauf eingegangen das der Körprer beliebig ist (was denke ich schlimm ist ;) ).
Wer also Einwände an meiner Lösung hat die darauf beruhen, dass der Körper dadurch nicht mehr beliebig ist, bitte melden ;)
Hier meine Lösungsidee:
(I.A.) n=1 funktioniert
(I.V.) Sei n [mm] \in \IN [/mm] beliebig aber fest und gelte die Behauptung für dieses n.
(I.S.) n [mm] \to [/mm] n+1
( a - b ) * [mm] \summe_{k=0}^{(n+1)-1}a^{k}*b^{(n+1)-k-1}
[/mm]
= ( a - b ) * [mm] \summe_{k=0}^{n}a^{k}*b^{(n-k-1+1)}
[/mm]
= ( a - b ) * [mm] \summe_{k=0}^{n}(a^k*b^{(n-k-1)*b}
[/mm]
= ( a - b ) * b [mm] \summe_{k=0}^{n}(a^k*b^{[(n-k-1)]}
[/mm]
= b* [mm] \underbrace{ ( a - b ) * \summe_{k=0}^{(n-1)}(a^{k}b^{(n-k-1)} }_{nach (I.V.) = (a^{n} - b^{n})} [/mm] + b* ( a - b ) * [mm] a^{n} *b^{n-n+1}
[/mm]
= b* [mm] (a^{n} [/mm] - [mm] b^{n}) [/mm] + b* ( a - b ) * [mm] a^{n} *b^{n-n+1}
[/mm]
= [mm] a^{n}b [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm] + [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] ba^{n} [/mm] = - [mm] b^{n+1} [/mm] + [mm] a^{n+1} [/mm] = [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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Hallo,
ich habe in Deinem Beweis nichts Verkehrtes entdeckt, daß Ihr die Potenzgesetze verwenden dürft, setze ich voraus.
Was ich mir vorstellen kann: mancherorten sind Körper so definiert, daß die Multiplikation nicht unbedingt kommutativ sein muß, wenn man einen Körper mit kommutativer Multiplikation hat, wird hier immer extra gesagt "sei K ein kommutativer Körper".
Diesbezüglich mußt Du Eure Definition prüfen. Denn wenn für Eure Körper nicht per se Kommutativität gilt, hast Du ein Problem mit Deinem Beweis.
Gruß v. Angela
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