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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Seien C und D Kategorien und sei F : C [mm] \to [/mm] D ein kovarianter Funktor. Betrachten Sie die folgenden beiden Aussagen:
i) F ist voll, treu und essentiell surjektiv.
ii) Es gibt einen kovarianten Funktor G : D [mm] \to [/mm] C mit [mm] G\circ F\approx id_{C} [/mm] und [mm] F\circ G\approx id_{D}.
[/mm]
a) Beweisen Sie, dass ii) i) impliziert.
b) Beweisen Sie nun, dass auch i) ii) impliziert – vorausgesetzt, dass in der Klasse der Objekte von D und in der Klasse der Morphismen von D das Auswahlaxiom gilt. |
Hallo,
mir fehlt jeglicher Ansatz bei o.g. Aufgabe. Die Definitionen sind mir zwar bekannt (Skript), aber das wars dann auch schon. Mit Vorkenntnissen in Kategorientheorie siehts auch eher schlecht aus, da ich in den vorangegangen Semestern einen anderen Professor hatte, der dies nicht behandelte.
Ich bin also für jeden Hinweis/Ansatz zur Herangehensweise dankbar.
MfG Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mi 20.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Kayle
Sorry das ich erst jetzt reagiere, ich hab momentan nicht so viel Zeit...
> Seien C und D Kategorien und sei F : C [mm]\to[/mm] D ein
> kovarianter Funktor. Betrachten Sie die folgenden beiden
> Aussagen:
> i) F ist voll, treu und essentiell surjektiv.
> ii) Es gibt einen kovarianten Funktor G : D [mm]\to[/mm] C mit
> [mm]G\circ F\approx id_{C}[/mm] und [mm]F\circ G\approx id_{D}.[/mm]
>
> a) Beweisen Sie, dass ii) i) impliziert.
Dass $G [mm] \circ [/mm] F [mm] \approx id_C$ [/mm] ist, bedeutet ja, dass es zu jedem Objekt $O [mm] \in [/mm] D$ einen Isomorphismus $(G [mm] \circ [/mm] F)(O) = G(F(O)) [mm] \cong [/mm] O = [mm] id_D(O)$ [/mm] gibt (und dieser "natuerlich" ist), und ebenso dass es zu jedem Objekt $O [mm] \in [/mm] C$ einen natuerlichen Isomorphismus $F(G(O)) [mm] \cong [/mm] O$ gibt.
Du willst jetzt zeigen:
* $F$ ist volltreu, d.h. fuer alle $X, Y [mm] \in [/mm] C$ ist [mm] $F_{X,Y} [/mm] : [mm] Hom_C(X, [/mm] Y) [mm] \to Hom_D(F(X), [/mm] F(Y))$ bijektiv (treu = injektiv, voll = surjektiv);
* $F$ ist wesentlich surjektiv, d.h. zu jedem $O [mm] \in [/mm] D$ gibt es ein $O' [mm] \in [/mm] C$ mit $F(O') [mm] \cong [/mm] O$.
Zuerst zur wesentlichen Surjektivitaet. Sei $O [mm] \in [/mm] D$. Nun ist $O [mm] \cong [/mm] F(G(O))$ (wegen $F [mm] \circ [/mm] G [mm] \approx id_D$), [/mm] weshalb mit $O' := G(O) [mm] \in [/mm] C$ gilt $O [mm] \cong [/mm] F(O')$. Damit ist $F$ wesentlich surjektiv.
Seien nun $X, Y [mm] \in [/mm] C$ und [mm] $\varphi, \psi \in Hom_C(X, [/mm] Y)$. Aus [mm] $F(\varphi) [/mm] = [mm] F(\psi)$ [/mm] muessen wir jetzt folgern [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \psi$; [/mm] damit zeigen wir, dass $F$ treu ist. Aus [mm] $F(\varphi) [/mm] = [mm] F(\psi)$ [/mm] folgt [mm] $G(F(\varphi)) [/mm] = [mm] G(F(\psi))$. [/mm] Da $G [mm] \circ [/mm] F [mm] \approx id_C$ [/mm] haben wir die kommutativen Diagramme [mm] $\begin{array}{ccc} (G \circ F)(X) & \cong & id_C(X) \\ (G \circ F)(\varphi) \downarrow & & \downarrow id_C(\varphi) \\ (G \circ F)(Y) & \cong & id_C(Y) \end{array}$ [/mm] und [mm] $\begin{array}{ccc} (G \circ F)(X) & \cong & id_C(X) \\ (G \circ F)(\psi) \downarrow & & \downarrow id_C(\psi) \\ (G \circ F)(Y) & \cong & id_C(Y) \end{array}$. [/mm] Die Isomorphismen sind in beiden Faellen die gleichen; nennen wir sie [mm] $\alpha_X [/mm] : (G [mm] \circ [/mm] F)(X) [mm] \to id_C(X)$ [/mm] und [mm] $\alpha_Y [/mm] : (G [mm] \circ [/mm] F)(Y) [mm] \to id_C(Y)$. [/mm] Damit ist [mm] $\varphi [/mm] = [mm] id_C(\varphi) [/mm] =
[mm] \alpha_Y \circ [/mm] (G [mm] \circ F)(\varphi) \circ \alpha_X^{-1} [/mm] = [mm] \alpha_Y \circ [/mm] (G [mm] \circ F)(\psi) \circ \alpha_X^{-1} [/mm] = [mm] id_C(\psi) [/mm] = [mm] \psi$. [/mm] Damit ist $F$ also treu.
Die Vollheit solltest du jetzt auch aehnlich hinbekommen.
> b) Beweisen Sie nun, dass auch i) ii) impliziert –
> vorausgesetzt, dass in der Klasse der Objekte von D und in
> der Klasse der Morphismen von D das Auswahlaxiom gilt.
Ich vermute mal, du nimmst die Klasse aller Unterkategorien von $D$, die $F(C)$ umfassen, fuer die man so ein $G$ definieren kann. Zuerst zeigst du, dass du immer die Morphismenmenge vergroessern kannst (mit Hilfe des Auswahlaxioms fuer die Morphismenmengen), d.h. dass du eine solche Unterkategorie immer zu einer vollen Unterkategorie erweitern kannst.
Dann zeigst du als zweiten Schritt, dass du immer ein weiteres Objekt aus $D$ hinzunehmen kannst, falls noch nicht alle in der Unterkategorie enthalten sind. Mit dem Auswahlaxiom fuer die Klasse der Objekte erhaelst du schliesslich, dass du die Unterkategorie so erweitern kannst, dass alle Objekte von $D$ enthalten sind.
Beides kombiniert liefert dann, dass die Kategorie $D$ selber zu diesen Unterkategorien gehoert, auf denen du $G$ definieren kannst. Damit bist du dann fertig.
LG Felix
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