kritische Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Do 18.05.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Finde die kritischen Punkte von [mm] f(x,y)=x^2+x^2y+y^2. [/mm] Sie sie lokale Minima oder Maxima? |
Zu dieser Aufgabe habe ich ein paar Fragen:
- Was sind überhaupt kritische Punkte und wie findet/berechnet man sie?
- Wie untersuche ich so eine Funktion auf Hoch-/Tiefpunkte? Ich meine zu wissen, dass die erste Ableitung nach x und die erste nach y an der selben Stelle 0 sein müssen als notwendige Bedingung für Extrema. Aber woher weiß ich dann, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
PS: Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Do 18.05.2006 | | Autor: | d_lphin |
Hallo MasterEd,
ein hinreichendes Kriterium bei einem relativen Extrempunkt ist:
[mm] \Delta :=f_{xx}(x_0;y_0)*f_{yy}(x_0;y_0)-f_{xy}^{2}(x_0;y_0)>0
[/mm]
das ergibt sich aus der Determinante [mm] \Delta:=\vmat{f_{xx}(x_0;y_0) & f_{xy}(x_0;y_0) \\ f_{xy}(x_0;y_0) & f_{yy}(x_0;y_0)}
[/mm]
Ist jetzt [mm] f_{xx}(x_0;y_0)>0 [/mm] hast du ein relatives Minimum; mit [mm] f_{xx}(x_0;y_0)<0 [/mm] ein relatives Maximum.
also, zweite partielle Ableitung machen und einsetzen und auch hier:
bei Fragen: einfach fragen 
Gruß
Del
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Do 18.05.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Hallo Del. Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich habe aber (leider) noch ein paar Fragen dazu. Ich schreibe Dir erstmal auf, was ich gemacht habe. |
[mm] $f(x,y)=x^2+x^2y+y^2$
[/mm]
[mm] $f_x(x,y)=2x+2xy\Rightarrow x_0=0$
[/mm]
[mm] $f_y(x,y)=x^2+2y\Rightarrow y_0=-\bruch{x^2}{2}=0$, [/mm] da [mm] $x_0=0$
[/mm]
[mm] $f_{xx}(x,y)=2+2y$
[/mm]
[mm] $f_{xy}(x,y)=2x\Rightarrow f_{x,y}^2(x,y)=4x^2$
[/mm]
[mm] $f_{yy}(x,y)=2$$
[/mm]
Es ist nun [mm] $f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2=(2+2y)*2-4x^2=4>0$, [/mm] wenn man $x=y=0$ setzt. Die Hinreichende Bedinung stimmt also. Berechnet man nun noch [mm] $f_{xx}(0,0)$ [/mm] dann erhält man 2, das ist positiv, also liegt im Punkt (0|0) ein Tiefpunkt? Der Graph sieht so seltsam aus. Ist das echt ein Tiefpunkt?
Stimmt $x=y=0$ überhaupt?
Kannst Du mir nochmal sagen, was man genau mit "kritischen Punkten" meint?
Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Fr 19.05.2006 | | Autor: | d_lphin |
Hallo Master,
hier zwei Plots; einmal x-Achse und einmal y-Achse.
Der Tiefpunkt ist erkennbar
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
und noch ein Link zu Wikipedia: ![[]](/images/popup.gif) kritischer Punkt
richtig erklären kann ich es nicht, du müsstest dann noch einmal speziell danach fragen
Gruß
Del
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Fr 19.05.2006 | | Autor: | d_lphin |
Tach,
hatte vorhin ganz vergessen:
> Hallo Del. Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich habe
> aber (leider) noch ein paar Fragen dazu.
warum "leider"? Das zeigt mir doch, dass du auf das, was hier geantwortet wird, reagierst und dass unsere Arbeit nicht für lau ist. Sollten sich einige mal ein Beispiel dran nehmen.
> Ich schreibe Dir
> erstmal auf, was ich gemacht habe.
> [mm]f(x,y)=x^2+x^2y+y^2[/mm]
> [mm]f_x(x,y)=2x+2xy\Rightarrow x_0=0[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y)=x^2+2y\Rightarrow y_0=-\bruch{x^2}{2}=0[/mm], da [mm]x_0=0[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y)=2+2y[/mm]
> [mm]f_{xy}(x,y)=2x\Rightarrow f_{x,y}^2(x,y)=4x^2[/mm]
>
> [mm]$f_{yy}(x,y)=2$$[/mm]
>
> Es ist nun [mm]f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2=(2+2y)*2-4x^2=4>0[/mm], wenn
> man [mm]x=y=0[/mm] setzt. Die Hinreichende Bedinung stimmt also.
> Berechnet man nun noch [mm]f_{xx}(0,0)[/mm] dann erhält man 2, das
> ist positiv, also liegt im Punkt (0|0) ein Tiefpunkt? Der
> Graph sieht so seltsam aus. Ist das echt ein Tiefpunkt?
>
> Stimmt [mm]x=y=0[/mm] überhaupt?
das ist alles korrekt so ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kannst Du mir nochmal sagen, was man genau mit "kritischen
> Punkten" meint?
>
siehe richtige Antwort 
Gruß
Del
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