kritische Punkte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:06 Di 26.06.2012 | | Autor: | Myth |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion
[mm]f(x,y) = sin(x) + sin(y) + sin(x+y)[/mm]
kritische Punkte in [mm] (\bruch{\pi}{3}, \bruch{\pi}{3}), (\pi,\pi) [/mm] und [mm] (\bruch{5\pi}{3},\bruch{5\pi}{3}) [/mm] hat. Untersuchen Sie auch in welchen dieser drei Punkte f ein lokales Maximum oder Minimum hat. |
Hallo!
Also dass diese Punkte kritisch sind habe ich schon bewiesen. Der Punkt [mm] (\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{3}) [/mm] ist ein lokales Maximum, [mm] (\bruch{5\pi}{3},\bruch{5\pi}{3}) [/mm] ein lokales Minimum. Im Punkt [mm] (\pi,\pi) [/mm] hat die Hesse-Matrix nur Nulleinträge und somit ist die Determinante 0. Somit kann ich die Definitheit nicht feststellen. Wie kann ich jetzt zeigen, ob bei [mm] (\pi,\pi) [/mm] ein Minimum bzw. Maximum vorliegt? In unserem Skript wird eine Methode mit einer Kugel um diesen Punkt beschrieben, aber ich hab Probleme dies auf die Angabe anzuwenden. Wie genau funktioniert diese Methode oder gibt es einen anderen (einfacheren) Weg, um die Extremstelle zu bestimmen?
Gruß Myth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:49 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Funktion
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> [mm]f(x,y) = sin(x) + sin(y) + sin(x+y)[/mm]
>
> kritische Punkte in [mm](\bruch{\pi}{3}, \bruch{\pi}{3}), (\pi,\pi)[/mm]
> und [mm](\bruch{5\pi}{3},\bruch{5\pi}{3})[/mm] hat. Untersuchen Sie
> auch in welchen dieser drei Punkte f ein lokales Maximum
> oder Minimum hat.
> Hallo!
>
> Also dass diese Punkte kritisch sind habe ich schon
> bewiesen. Der Punkt [mm](\bruch{\pi}{3},\bruch{\pi}{3})[/mm] ist ein
> lokales Maximum, [mm](\bruch{5\pi}{3},\bruch{5\pi}{3})[/mm] ein
> lokales Minimum. Im Punkt [mm](\pi,\pi)[/mm] hat die Hesse-Matrix
> nur Nulleinträge und somit ist die Determinante 0. Somit
> kann ich die Definitheit nicht feststellen. Wie kann ich
> jetzt zeigen, ob bei [mm](\pi,\pi)[/mm] ein Minimum bzw. Maximum
> vorliegt? In unserem Skript wird eine Methode mit einer
> Kugel um diesen Punkt beschrieben, aber ich hab Probleme
> dies auf die Angabe anzuwenden. Wie genau funktioniert
> diese Methode oder gibt es einen anderen (einfacheren) Weg,
> um die Extremstelle zu bestimmen?
Es ist [mm] f(\pi,\pi)=0
[/mm]
Betrachte g(x):=f(x,x). g nimmt in jeder Umgebung von [mm] \pi [/mm] sowohl positive als auch negative Werte an.
FRED
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> Gruß Myth
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:09 Di 26.06.2012 | | Autor: | Myth |
Ok, also hab ich an dieser Stelle weder ein lokales Maximum, noch ein Minimum. Kann ich dann sicher sagen, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt oder ist dies bis jetzt nur der Beweis, dass es eben kein Max oder Min ist?
Gruß Myth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 28.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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