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| Aufgabe | Bestimmen Sie die kritischen Punkte und ihren Typ für:
f(x,y)= [mm] (x^3-3x)(y+3)+y(y+6) [/mm] |
Hallo nochmal,
bevor ich die Ableitung gebildet habe habe ich f(x,y) ausmultipliziert
f(x,y)= [mm] x^3y+3x^3-3xy-9x+y^2+6y
[/mm]
hier sind die partiellen Ableitungen stimmen die?
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] 3x^2y+9x^2-3y-9 [/mm]
[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = [mm] x^3-3x+2y+6
[/mm]
[mm] \bruch{df}{d^2x} [/mm] = 6xy+18x
[mm] \bruch{df}{d^2y}= [/mm] 2
[mm] \bruch{df}{dxy}= \bruch{df}{dyx} [/mm] = [mm] 3x^2-3 [/mm]
meine zweite Frage wäre jetzt aber die Notwendige Bedingung.
ich weiß nicht wie ich es berechnen soll. Ich weiß, dass ich die erste Ableitung =0 setzen soll von x bzw von y, aber ich weiß nicht wie ich es anwenden soll. Mir fällt das(x,y) Paar nicht ein. Muss man das durch ausprobieren raten oder gibt es irgendwie eine Möglichkeit es zu berechnen?
Ich habe eine Idee, aber ob es stimmt keine Ahnung.
würde die erste Ableitung von y nach y auflösen dann in die Ableitung von x einsetzen, dann hätte ich schonmal zwei Werte dann diese Werte in die Ableitung von y einsetzen, somit ich die y-Werte habe?
stimmt das?
Lg
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Hallo ellegance88,
> Bestimmen Sie die kritischen Punkte und ihren Typ für:
>
> f(x,y)= [mm](x^3-3x)(y+3)+y(y+6)[/mm]
> Hallo nochmal,
> bevor ich die Ableitung gebildet habe habe ich f(x,y)
> ausmultipliziert
> f(x,y)= [mm]x^3y+3x^3-3xy-9x+y^2+6y[/mm]
> hier sind die partiellen Ableitungen stimmen die?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = [mm]3x^2y+9x^2-3y-9[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]x^3-3x+2y+6[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{d^2x}[/mm] = 6xy+18x
>
> [mm]\bruch{df}{d^2y}=[/mm] 2
>
> [mm]\bruch{df}{dxy}= \bruch{df}{dyx}[/mm] = [mm]3x^2-3[/mm]
>
> meine zweite Frage wäre jetzt aber die Notwendige
> Bedingung.
> ich weiß nicht wie ich es berechnen soll. Ich weiß, dass
> ich die erste Ableitung =0 setzen soll von x bzw von y,
Jo, mit anderen Worten: den Gradienten
> aber ich weiß nicht wie ich es anwenden soll. Mir fällt
> das(x,y) Paar nicht ein. Muss man das durch ausprobieren
> raten oder gibt es irgendwie eine Möglichkeit es zu
> berechnen?
> Ich habe eine Idee, aber ob es stimmt keine Ahnung.
> würde die erste Ableitung von y nach y auflösen dann in
> die Ableitung von x einsetzen,
Das hört sich vernünftig an.
> dann hätte ich schonmal
> zwei Werte dann diese Werte in die Ableitung von y
> einsetzen, somit ich die y-Werte habe?
> stimmt das?
Ich habe das mal auf die Schnelle angerechnet und komme auf die Bedingung $x=0 \ [mm] \vee [/mm] \ [mm] x^4-4x^2+3=0$
[/mm]
Das sollte 5 mögliche Werte für $x$ ergeben.
Aber rechne das am Besten mal selber ...
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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okay, habe auch [mm] x(x^4x^2+3) [/mm] raus
wenn ich jetzt von der Klammer die Nullstellen berechne.
[mm] x^4+4x^2+3=0
[/mm]
hab ich substitutionsverfahren angewendet [mm] x^2=z
[/mm]
[mm] z^2+4z+3=0
[/mm]
pq-Formel
dann hab ich als Werte -1 und -3 raus.
wenn ich nun resub.
muss ich doch die ergebnisse +- die wurzel nehmen da ich negative Zahlen raus habe ist die 0 als einzige x-Stelle? oder hab ich was falsch gemacht?
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Hallo nochmal,
> okay, habe auch [mm]x(x^4x^2+3)[/mm] raus
>
> wenn ich jetzt von der Klammer die Nullstellen berechne.
>
> [mm]x^4\red{+}4x^2+3=0[/mm]
Da habe ich ein "-"
>
> hab ich substitutionsverfahren angewendet [mm]x^2=z[/mm]
>
> [mm]z^2+4z+3=0[/mm]
>
> pq-Formel
>
> dann hab ich als Werte -1 und -3 raus.
Ich komme auf +1 und +3 ...
> wenn ich nun resub.
> muss ich doch die ergebnisse +- die wurzel nehmen da ich
> negative Zahlen raus habe ist die 0 als einzige x-Stelle?
> oder hab ich was falsch gemacht?
Das Vorzeichen oben bei dem [mm] $4x^2$ [/mm] scheint mir falsch zu sein.
Rechne nochmal nach, falls es dabei bleibt, poste deine Rechnung dazu ...
Gruß
schachuzipus
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okay war mein Vorzeichenfehler.
soo nun habe ich folgende x-Werte raus:
[mm] x_1= -\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_2=-1 [/mm]
[mm] x_3=0 [/mm]
[mm] x_4=1 [/mm]
[mm] x_5=\wurzel{3}
[/mm]
wenn ich die jetzt einsetze bekomme ich für:
y(0)=-3
[mm] y(-\wurzel{3})=-3
[/mm]
y(-1)=-4
y(1)=-2
[mm] y(\wurzel{3}=-3
[/mm]
sind dann die (x,y) Paare meine möglichen Extrempunkte? oder kann ich irgendwelche schonmal heraus sortieren? oder muss ich alle prüfen?
(0,-3) [mm] (-\wurzel{3},-3) (-1,-4)(1,-2)(\wurzel{3},-3)
[/mm]
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Hallo nochmal,
> okay war mein Vorzeichenfehler.
>
> soo nun habe ich folgende x-Werte raus:
>
> [mm]x_1= -\wurzel{3}[/mm]
> [mm]x_2=-1[/mm]
> [mm]x_3=0[/mm]
> [mm]x_4=1[/mm]
> [mm]x_5=\wurzel{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wenn ich die jetzt einsetze bekomme ich für:
> y(0)=-3
> [mm]y(-\wurzel{3})=-3[/mm]
> y(-1)=-4
> y(1)=-2
> [mm]y(\wurzel{3}=-3[/mm]
>
> sind dann die (x,y) Paare meine möglichen Extrempunkte?
Jo, die sog. stationären Punkte
> oder kann ich irgendwelche schonmal heraus sortieren? oder
> muss ich alle prüfen?
> (0,-3) [mm](-\wurzel{3},-3) (-1,-4)(1,-2)(\wurzel{3},-3)[/mm]
Jo, stelle die Hessematrix auf und untersuche sie in den fraglichen Punkten auf Definitheit, um die Art des mögl. Extremums zu bestimmen ...
Gruß
schachuzipus
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ich habe jetzt für (0,-3):
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
für [mm] (-\wurzel{3},-3)
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 6 \\
6 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
für (-1,-4)
[mm] \begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
für (1,-2)
[mm] \begin{pmatrix}
-6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] für(\wurzel{3},-3)
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 6 \\
6 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
man kann ja schon sehen dass (-1,-4) positiv definit ist. und (1,-2 weder noch ist. also semi.
und bei den anderen muss ich das charak.Polynom ausrechnen oder gibt es eine andere Möglichkeit?
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Hallo nochmal,
> ich habe jetzt für (0,-3):
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> für [mm](-\wurzel{3},-3)[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 6 \\
6 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> für (-1,-4)
>
> [mm]\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> für (1,-2)
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]für(\wurzel{3},-3)[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 6 \\
6 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
Die Hessematrizen sehen gut aus!
> man kann ja schon sehen dass (-1,-4) positiv definit ist.
Also dort ein lokales Minimum
> und (1,-2 weder noch ist.
> also semi.
Eher indefinit, also ist bei $(1,-2)$ ein Sattelpunkt-
>
> und bei den anderen muss ich das charak.Polynom ausrechnen
> oder gibt es eine andere Möglichkeit?
Untersuche auf Definitheit, entweder schaust du dir die Eigenwerte an oder versuchst es mit dem Hauptminorenkrit.
Gruß
schachuzipus
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so wenn ich es richtig gerechnet habe, müssten die anderen jeweils ein Sattelpunkt sein. D.h ein positiv definit rest Sattelpunkt.
Kann das sein?
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Hallo nochmal,
> so wenn ich es richtig gerechnet habe, müssten die anderen
> jeweils ein Sattelpunkt sein. D.h ein positiv definit rest
> Sattelpunkt.
>
> Kann das sein?
Nö, das passt so nicht.
Rechne mal für $(x,y)=(0,-3)$ vor.
Da erhalte ich zwei negative Eigenwerte der zugeh. Hessematrix, also sollte dort ein lokales Maximum sein ...
Gruß
schachuzipus
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für (0,-3)
[mm] \begin{pmatrix}
0- \lambda & -3 \\
-3 & 2- \lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
= [mm] \lambda^2-2 \lambda-9
[/mm]
pq-Formel
1+ [mm] \wurzel{10}
[/mm]
1- [mm] \wurzel{10}
[/mm]
hmm, wo ist denn mein Fehler? :S
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Hallo nochmal,
> für (0,-3)
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0- \lambda & -3 \\
-3 & 2- \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> = [mm]\lambda^2-2 \lambda-9[/mm]
>
> pq-Formel
>
> 1+ [mm]\wurzel{10}[/mm]
> 1- [mm]\wurzel{10}[/mm]
>
> hmm, wo ist denn mein Fehler? :S
Nirgendwo, alles bestens, ich konnte das Gekrakel auf meinem Schmierzettel nicht mehr richtig entziffern ...
Tut mir leid ...
LG
schachuzipus
>
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Achso, ok :)
also sind alle richtig? und die Aufgabe wäre fertig?
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Hallo nochmal,
> Achso, ok :)
> also sind alle richtig?
Jo!
> und die Aufgabe wäre fertig?
Auch jo!
Gruß
schachuzipus
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