kritischer Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:26 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | | Sei f eine [mm] C^{2} [/mm] - Funktion und [mm] x_{0} [/mm] ein kritischer Punkt von f mit nicht ausgearteter Hessematrix. Zeige, dass f in einer Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] keinen weiteren kritischen Punkt hat. |
Guten morgen miteinander,
bei obiger Aufgabenstellung bin ich trotz intensiver Denkarbeit ins Stocken gekommen. Da lineare Algebra für mich noch unbekannt ist, hat die Matrizenrechnung ihre Tücken.
Bisher habe ich mir hierzu folgendes überlegt:
H ist nicht entartet, das heißt ich kann [mm] (H)^{-1} [/mm] bilden, da [mm] det(H)\not=0 [/mm] ist. Dies bedeutet aber weiter, dass jeder Eigenwert [mm] \lambda_{i} [/mm] von H entweder >0 oder <0 sein muss. Daraus ergeben sich diese Fälle:
[mm] \lambda_{i} [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] i=1, ..., n (wobei n gleich dem Rang der Hesse-Matrix ist),
[mm] \lambda_{i} [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] i=1, ..., n und
[mm] \lambda_{i} [/mm] > 0, [mm] \lambda_{j} [/mm] < 0, für [mm] i\not=j.
[/mm]
Weiter gilt ja nach Definition von [mm] x_{0}: [/mm] grad [mm] f(x_{0}) [/mm] = 0.
Wenn ich nun annehme, es gäbe in einer offenen Umgebung U von [mm] x_{0} [/mm] einen weiteren kritischen Punkt [mm] y_{0}, [/mm] so würde ja auch dort gelten: grad [mm] f(x_{0}) [/mm] = 0, [mm] x_{0} \not= y_{0}.
[/mm]
Da sich nun aber die Eigenwerte [mm] \lambda_{i} [/mm] wie oben erläutet verhalten, liegt bei [mm] x_{0} [/mm] entweder lokales Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vor. Da [mm] x_{0} \not= y_{0} [/mm] gelten muss, muss die Hesse-Matrix zwischen [mm] x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] ihr Vorzeichen ändern, d.h. nach dem Zwischenwertsatz existiert ein Punkt [mm] \alpha [/mm] an dem det(H)=0. Da aber weiter grad (f(x)) ein Diffeomorphismus ist (es ist ja [mm] C^{1}) [/mm] wäre das ein Widerspruch, [mm] det(H(\alpha))=0.
[/mm]
Hm... Bin ich auf dem richtigen Weg? Ich sehen den Wald vor lauter Bäumen schon nicht mehr... Deshalb wäre ich überaus dankbar über jegliche Art von Tipp, Anregung, Kritik oder Idee.
Danke euch schon jetzt dafür!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei f eine [mm]C^{2}[/mm] - Funktion und [mm]x_{0}[/mm] ein kritischer Punkt
> von f mit nicht ausgearteter Hessematrix. Zeige, dass f in
> einer Umgebung von [mm]x_{0}[/mm] keinen weiteren kritischen Punkt
> hat.
> Guten morgen miteinander,
>
> bei obiger Aufgabenstellung bin ich trotz intensiver
> Denkarbeit ins Stocken gekommen. Da lineare Algebra für
> mich noch unbekannt ist, hat die Matrizenrechnung ihre
> Tücken.
> Bisher habe ich mir hierzu folgendes überlegt:
>
> H ist nicht entartet, das heißt ich kann [mm](H)^{-1}[/mm] bilden,
> da [mm]det(H)\not=0[/mm] ist. Dies bedeutet aber weiter, dass jeder
> Eigenwert [mm]\lambda_{i}[/mm] von H entweder >0 oder <0 sein muss.
Wieso ist H diagonalisierbar?
(Es ist es - das stimmt - aber ich will wissen, ob du weisst wieso).
> Daraus ergeben sich diese Fälle:
> [mm]\lambda_{i}[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] i=1, ..., n (wobei n gleich dem
> Rang der Hesse-Matrix ist),
> [mm]\lambda_{i}[/mm] < 0 [mm]\forall[/mm] i=1, ..., n und
> [mm]\lambda_{i}[/mm] > 0, [mm]\lambda_{j}[/mm] < 0, für [mm]i\not=j.[/mm]
>
Der letzte Fall ist komisch hingeschrieben. Ich weiss nicht, was er sein soll.
> Weiter gilt ja nach Definition von [mm]x_{0}:[/mm] grad [mm]f(x_{0})[/mm] =
> 0.
>
> Wenn ich nun annehme, es gäbe in einer offenen Umgebung U
> von [mm]x_{0}[/mm] einen weiteren kritischen Punkt [mm]y_{0},[/mm] so würde
> ja auch dort gelten: grad [mm]f(x_{0})[/mm] = 0, [mm]x_{0} \not= y_{0}.[/mm]
>
Willst du einen Widerspruchsbeweis machen? Dann ist deine Annahme falsch. Du müsstest dafür annehmen, dass es in -jeder- Umgebung einen weiteren kritischen Punkt gibt.
> Da sich nun aber die Eigenwerte [mm]\lambda_{i}[/mm] wie oben
> erläutet verhalten, liegt bei [mm]x_{0}[/mm] entweder lokales
> Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vor. Da [mm]x_{0} \not= y_{0}[/mm]
> gelten muss, muss die Hesse-Matrix zwischen [mm]x_{0}[/mm] und [mm]y_{0}[/mm]
> ihr Vorzeichen ändern,
Was ist das Vorzeichen der Hesse-Matrix? Das habe ich so noch nie gehört.
> d.h. nach dem Zwischenwertsatz
> existiert ein Punkt [mm]\alpha[/mm] an dem det(H)=0. Da aber weiter
> grad (f(x)) ein Diffeomorphismus ist (es ist ja [mm]C^{1})[/mm] wäre
> das ein Widerspruch, [mm]det(H(\alpha))=0.[/mm]
Wieso soll grad f ein Diffeo sein? grad f ist doch in [mm] x_0 [/mm] singulär, kann also gar kein Diffeo sein.
>
> Hm... Bin ich auf dem richtigen Weg? Ich sehen den Wald
> vor lauter Bäumen schon nicht mehr... Deshalb wäre ich
> überaus dankbar über jegliche Art von Tipp, Anregung,
> Kritik oder Idee.
>
Deine Aufgabe ist ein Spezialfall des ![[]](/images/popup.gif) Morse-Lemma.
Nämlich der, das du als Mannigfaltigkeit einfach den [mm] \IR^n [/mm] betrachtest (ich gehe mal davon aus, dass f auf dem [mm] \IR^n [/mm] definiert ist - du hast es nicht erwähnt).
> Danke euch schon jetzt dafür!
Muss leider weg. Entweder schreibt jemand anders noch was hin oder ich überlege mir bis heute Abend noch was.
Am besten wärs natürlich, wenn du selbst dir noch was überlegst.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:23 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Takeela |
> >Sei f eine [mm]C^{2}[/mm] - Funktion und [mm]x_{0}[/mm] ein kritischer Punkt
> > von f mit nicht ausgearteter Hessematrix. Zeige, dass f in
> > einer Umgebung von [mm]x_{0}[/mm] keinen weiteren kritischen Punkt
> > hat.
>
> > Guten morgen miteinander,
> >
> > bei obiger Aufgabenstellung bin ich trotz intensiver
> > Denkarbeit ins Stocken gekommen. Da lineare Algebra für
> > mich noch unbekannt ist, hat die Matrizenrechnung ihre
> > Tücken.
> > Bisher habe ich mir hierzu folgendes überlegt:
> >
> > H ist nicht entartet, das heißt ich kann [mm](H)^{-1}[/mm] bilden,
> > da [mm]det(H)\not=0[/mm] ist. Dies bedeutet aber weiter, dass jeder
> > Eigenwert [mm]\lambda_{i}[/mm] von H entweder >0 oder <0 sein muss.
>
> Wieso ist H diagonalisierbar?
> (Es ist es - das stimmt - aber ich will wissen, ob du
> weisst wieso).
H ist diagonalisierbar weil es eine symmetrische Matrix ist (satz von Schwarz)
>
> > Daraus ergeben sich diese Fälle:
> > [mm]\lambda_{i}[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] i=1, ..., n (wobei n gleich dem
> > Rang der Hesse-Matrix ist),
> > [mm]\lambda_{i}[/mm] < 0 [mm]\forall[/mm] i=1, ..., n und
> > [mm]\lambda_{i}[/mm] > 0, [mm]\lambda_{j}[/mm] < 0, für [mm]i\not=j.[/mm]
> >
>
> Der letzte Fall ist komisch hingeschrieben. Ich weiss
> nicht, was er sein soll.
Was ich damit meinte:
[mm] \lambda_{i} [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] i [mm] \Rightarrow [/mm] H ist positiv definit [mm] \Rightarrow x_{0} [/mm] ist lokales Minimum.
[mm] \lambda_{i} [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] i [mm] \Rightarrow [/mm] H ist negativ definit [mm] \Rightarrow x_{0} [/mm] ist lokales Maximum.
[mm] \lambda_{i} [/mm] > 0, [mm] \lambda_{j} [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] H ist indefinit [mm] \Rightarrow x_{0} [/mm] ist lokaler Sattelpunkt.
>
> > Weiter gilt ja nach Definition von [mm]x_{0}:[/mm] grad [mm]f(x_{0})[/mm] =
> > 0.
> >
> > Wenn ich nun annehme, es gäbe in einer offenen Umgebung U
> > von [mm]x_{0}[/mm] einen weiteren kritischen Punkt [mm]y_{0},[/mm] so würde
> > ja auch dort gelten: grad [mm]f(x_{0})[/mm] = 0, [mm]x_{0} \not= y_{0}.[/mm]
>
> >
>
> Willst du einen Widerspruchsbeweis machen? Dann ist deine
> Annahme falsch. Du müsstest dafür annehmen, dass es in
> -jeder- Umgebung einen weiteren kritischen Punkt gibt.
Okay... das könnte ich ja machen... Nur bekäme ich dann wahrscheinlich ein Problem (oder?): Ich kann ja nicht sagen, ob f noch weitere Kritische Punkte hat.
Wie zeige ich es dann, wenn nicht per Widerspruch?
>
> > Da sich nun aber die Eigenwerte [mm]\lambda_{i}[/mm] wie oben
> > erläutet verhalten, liegt bei [mm]x_{0}[/mm] entweder lokales
> > Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vor. Da [mm]x_{0} \not= y_{0}[/mm]
> > gelten muss, muss die Hesse-Matrix zwischen [mm]x_{0}[/mm] und [mm]y_{0}[/mm]
> > ihr Vorzeichen ändern,
>
> Was ist das Vorzeichen der Hesse-Matrix? Das habe ich so
> noch nie gehört.
Mit Vorzeichen meinte ich natürlich die Vorzeichen der Eigenwerte, sprich die Definitheit von H.
>
> > d.h. nach dem Zwischenwertsatz
> > existiert ein Punkt [mm]\alpha[/mm] an dem det(H)=0. Da aber weiter
> > grad (f(x)) ein Diffeomorphismus ist (es ist ja [mm]C^{1})[/mm] wäre
> > das ein Widerspruch, [mm]det(H(\alpha))=0.[/mm]
>
> Wieso soll grad f ein Diffeo sein? grad f ist doch in [mm]x_0[/mm]
> singulär, kann also gar kein Diffeo sein.
Nun ja, unsere Definition von Diffeo. ist:
Ist g eine bijektive [mm] C^1 [/mm] - Abbildung einer offenen Menge auf eine offene Menge und ist die Umkehrabbildung [mm] g^{-1} [/mm] wieder [mm] C^1, [/mm] so ist g ein Diffeo.
Indikator ist das Differential dg.
Und wenn ich nun g:=grad(f) setzte, dann ist dg=H [mm] \Rightarrow det(H)\not=0 \Rightarrow [/mm] g=grad(f) ist Diffeo.
Oder vertausche ich grad irgendwelche Tatsachen?
>
> >
> > Hm... Bin ich auf dem richtigen Weg? Ich sehen den Wald
> > vor lauter Bäumen schon nicht mehr... Deshalb wäre ich
> > überaus dankbar über jegliche Art von Tipp, Anregung,
> > Kritik oder Idee.
> >
>
> Deine Aufgabe ist ein Spezialfall des
> Morse-Lemma.
>
> Nämlich der, das du als Mannigfaltigkeit einfach den [mm]\IR^n[/mm]
> betrachtest (ich gehe mal davon aus, dass f auf dem [mm]\IR^n[/mm]
> definiert ist - du hast es nicht erwähnt).
Das habe ich nicht erwähnt, weil es in der Aufgabenstellung ebenfalls nicht erwähnt ist.
>
> > Danke euch schon jetzt dafür!
>
> Muss leider weg. Entweder schreibt jemand anders noch was
> hin oder ich überlege mir bis heute Abend noch was.
> Am besten wärs natürlich, wenn du selbst dir noch was
> überlegst.
Danke dir herzlich für deine Korrekturen - selbstverständlich überlege ich mir weiter etwas zu dieser Aufgabe - es ist ja in meinem persönlichen Interesse, soviel eigenes "Gehirnschmalz" wie nur gerade irgendwie möglich darin zu investieren. Das habe ich ja bereits auch schon getan - nur leider kam ich nicht weiter, weswegen ich mich zum Ideenaustausch vertrauensvoll in dieses Forum begab. :)
Okay... Die Umgebung von [mm] x_{0}, [/mm] in welcher f keinen weiteren kritischen Punkt haben kann, muss die sein, in der [mm] det(H)\not=0 [/mm] ist und dies ist auch die Umgebung, in der grad(f) umkehrbar ist, richtig?
Wenn ich annehme, f hat in jeder Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] einen kritischen Punkt, dann kann ich doch eine gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergente Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] kritischer Punkte konstruieren, sodass in jeder beliebigen Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] ein kritischer Punkt zu finden ist. Dann kann ich doch den Satz von Rolle anwenden: Für [mm] g(x_{p})=grad(f(x_{p})) [/mm] und [mm] g(x_{p+1})=grad(f(x_{p+1})), [/mm] wobei [mm] x_{p} [/mm] und [mm] x_{p+1} \in (x_n)_{n \in \IN}, [/mm] mit [mm] g(x_{p})=g(x_{p+1})=0 [/mm] (nach Wahl von [mm] x_{p} [/mm] und [mm] x_{p+1}). [/mm] Also exisitiert ein y [mm] \in [x_{p},x_{p+1}], [/mm] sodass g'(f(y))=0. g'(y) entspricht hier ja den Eigenwerten der Hesse-Matrix.
Dies müsste dann ein Widerspruch zur Voraussetzung sein, dass H in diesen Umgebungen invertierbar ist.
Könnte das der richtige Weg sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 27.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 28.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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