kürzester Abstand < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 24.07.2011 | | Autor: | hilbert |
Hallo, ich soll den kürzesten Abstand einer Kugeloberfläche von einem Punkt bestimmen.
Mit der Mathematik aus der Oberstufe wäre dies kein Problem, ich soll aber die Lagrange Multiplikator Regel benutzen.
Die Kugeloberfläche ist gegeben durch
[mm] (x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25
[/mm]
und ich soll den Punkt bestimmen der zu dem Punkt P=(1,2,3) den kürzesten Abstand besitzt.
Als erstes bestimme ich meine Lagrangefunktion [mm] L(x,\lambda)
[/mm]
[mm] L(x,\lambda)=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] ((x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2 [/mm] -25).
Als nächstes bilde ich die Ableitungen nach x,y,z und [mm] \lambda:
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x}= \bruch{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}} [/mm] + [mm] 2\lambda*(x-1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y}= \bruch{y-2}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}} [/mm] + [mm] 2\lambda*(y+1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial z}= \bruch{z-3}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}} [/mm] + [mm] 2\lambda*(z-1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda}= (x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2-25
[/mm]
Diese sollen jetzt alle 0 sein.
Wie komme ich jetzt auf Werte x,y,z? Bekomme nichts vernünftiges gleichgesetzt oder eingesetzt.
Vielen Dank im Voraus
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> Hallo, ich soll den kürzesten Abstand einer
> Kugeloberfläche von einem Punkt bestimmen.
>
> Mit der Mathematik aus der Oberstufe wäre dies kein
> Problem, ich soll aber die Lagrange Multiplikator Regel
> benutzen.
>
> Die Kugeloberfläche ist gegeben durch
>
> [mm](x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25[/mm]
>
> und ich soll den Punkt bestimmen der zu dem Punkt P=(1,2,3)
> den kürzesten Abstand besitzt.
>
> Als erstes bestimme ich meine Lagrangefunktion
> [mm]L(x,\lambda)[/mm]
>
> [mm]L(x,\lambda)=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]((x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2[/mm] -25).
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> Als nächstes bilde ich die Ableitungen nach x,y,z und
> [mm]\lambda:[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x}= \bruch{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}}[/mm]
> + [mm]2\lambda*(x-1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial y}= \bruch{y-2}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}}[/mm]
> + [mm]2\lambda*(y+1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial z}= \bruch{z-3}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2}}[/mm]
> + [mm]2\lambda*(z-1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda}= (x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2-25[/mm]
>
> Diese sollen jetzt alle 0 sein.
>
> Wie komme ich jetzt auf Werte x,y,z? Bekomme nichts
> vernünftiges gleichgesetzt oder eingesetzt.
>
> Vielen Dank im Voraus
Hallo hilbert,
anschaulich betrachtet wäre die Aufgabe ja wirklich
ein Klacks. Soll sie nun mittels Lagrange wirklich
gerade abschreckend werden ? Ich hoffe es nicht.
Du kannst doch auch für die Lagrange-Methode anstatt
den Abstand dessen Quadrat minimieren ! Ich denke,
dass dann die Rechnung deutlich einfacher wird, weil
man sich die Wurzeln und deren Ableitungen erspart.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 24.07.2011 | | Autor: | hilbert |
Also definiere ich mir mein [mm] L(x,\lambda) [/mm] als [mm] (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2 [/mm] + [mm] \lambda*((x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2-25)
[/mm]
Dann sind die Ableitungen also:
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x} =2(x-1)+2\lambda*(x-1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial y} =2(y-2)+2\lambda*(y+1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial z} =2(z-3)+2\lambda*(z-1)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} =(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2-25
[/mm]
Das ist so richtig? Jetzt muss ich x,y,z bestimmen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 24.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also definiere ich mir mein [mm]L(x,\lambda)[/mm] als
> [mm](x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2[/mm] +
> [mm]\lambda*((x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2-25)[/mm]
Yep
>
> Dann sind die Ableitungen also:
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial x} =2(x-1)+2\lambda*(x-1)[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial y} =2(y-2)+2\lambda*(y+1)[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial z} =2(z-3)+2\lambda*(z-1)[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial \lambda} =(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2-25[/mm]
>
> Das ist so richtig? Jetzt muss ich x,y,z bestimmen oder?
Ja.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 24.07.2011 | | Autor: | hilbert |
Dann versuche ich mich mal:
Aus der ersten Zeile bekomme ich sofort:
[mm] 2(x-1)+2\lambda*(x-1)=0
[/mm]
[mm] 2x-2+2x\lambda [/mm] - [mm] 2\lambda=0
[/mm]
[mm] x(2+2\lambda)=2+2\lambda [/mm] für [mm] \lambda \not= [/mm] -2
x=1.
2. Gleichung:
[mm] 2y-4+2y\lambda+2\lambda=0
[/mm]
3.Gleichung
[mm] 2z-6+2z\lambda-2\lambda=0
[/mm]
Also
[mm] 2y-4+2y\lambda+2\lambda [/mm] = [mm] 2z-6+2z\lambda-2\lambda
[/mm]
[mm] y(2+2\lambda)=2z-2+2z\lambda-4\lambda
[/mm]
[mm] y=\bruch{z-1+z\lambda-2\lambda}{1+\lambda}
[/mm]
So weit erstmal.
Das sieht mir schon recht falsch aus.
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Vielen Dank
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Hallo hilbert,
> Dann versuche ich mich mal:
>
> Aus der ersten Zeile bekomme ich sofort:
> [mm]2(x-1)+2\lambda*(x-1)=0[/mm]
> [mm]2x-2+2x\lambda[/mm] - [mm]2\lambda=0[/mm]
> [mm]x(2+2\lambda)=2+2\lambda[/mm] für [mm]\lambda \not=[/mm] -2
Hier muss es doch lauten: [mm]\lambda \not= -\red{1}[/mm]
> x=1.
Jetzt hast Du zwei Fälle:
i) [mm]x=1[/mm] für [mm]\lambda \not= -1[/mm]
ii) [mm]\lambda=-1[/mm]
>
> 2. Gleichung:
> [mm]2y-4+2y\lambda+2\lambda=0[/mm]
> 3.Gleichung
> [mm]2z-6+2z\lambda-2\lambda=0[/mm]
>
> Also
>
> [mm]2y-4+2y\lambda+2\lambda[/mm] = [mm]2z-6+2z\lambda-2\lambda[/mm]
> [mm]y(2+2\lambda)=2z-2+2z\lambda-4\lambda[/mm]
> [mm]y=\bruch{z-1+z\lambda-2\lambda}{1+\lambda}[/mm]
Auflösen nach y darfst Du nur, wenn [mm]\lambda \not=-1[/mm]
> -
> So weit erstmal.
>
> Das sieht mir schon recht falsch aus.
> Könnt ihr mir weiterhelfen?
Betrachte die restlichen Gleichungen für jeden der oben angegebenen Fälle.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 24.07.2011 | | Autor: | hilbert |
Also Fall 1 [mm] \lambda \not=-1
[/mm]
dann ist x=1
und y = $ [mm] y=\bruch{z-1+z\lambda-2\lambda}{1+\lambda} [/mm] $
Also ist ja:
$ [mm] (x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25 [/mm] $
[mm] (y+1)^2+(z-1)^2=25
[/mm]
also
[mm] (\bruch{z-1+z\lambda-2\lambda}{1+\lambda}+1)^2+(z-1)^2 [/mm] = 25
Das soll ich jetzt nach z auflösen? Und bekomme daruch mein y und z?
Nun [mm] \lambda [/mm] =-1
Damit gilt für die erste Gleichung 0=0
für die zweite gilt -6=0 also nicht lösbar.
Was heißt das jetzt?
Finde die Aufgabe irgendwie blöd, da sie ja eigentlich recht einfach ist.
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Hallo hilbert,
> Also Fall 1 [mm]\lambda \not=-1[/mm]
> dann ist x=1
> und y = [mm]y=\bruch{z-1+z\lambda-2\lambda}{1+\lambda}[/mm]
>
> Also ist ja:
>
> [mm](x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=25[/mm]
> [mm](y+1)^2+(z-1)^2=25[/mm]
>
> also
>
> [mm](\bruch{z-1+z\lambda-2\lambda}{1+\lambda}+1)^2+(z-1)^2[/mm] =
> 25
>
> Das soll ich jetzt nach z auflösen? Und bekomme daruch
> mein y und z?
Eine andere Vorgehenswese ist die Gleichungen 2 und 3 nach [mm]\lambda[/mm] aufzulösen. Die entstehenden Gleichungen gleichsetzen und
daraus z in Abhgängigkeit von y ermitteln.
Dies setzt Du dann in die verbliebene Gleichung ein,
und löst diese nach y auf.
>
> Nun [mm]\lambda[/mm] =-1
>
> Damit gilt für die erste Gleichung 0=0
> für die zweite gilt -6=0 also nicht lösbar.
>
> Was heißt das jetzt?
>
Es gibt keine Lösung für [mm]\lambda=-1[/mm]
> Finde die Aufgabe irgendwie blöd, da sie ja eigentlich
> recht einfach ist.
>
Gruss
MathePower
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