kürzester weg < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Do 26.07.2007 | | Autor: | maeksi |
| Aufgabe | | Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße kommen. Der Fußpunkt C des Lotes von A. Auf die Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell bewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen? |
Mein 2tes und letztes Extremwertbeispiel das ich nicht lösen konnte.
Ich habe keine Idee wie ich hier die Haupt und Nebenbedingungen aufstelle. Das Ergebnis ist 30 Grad.
Ein Danke im voraus, bin sehr froh diese Seite gefunden zu haben....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Do 26.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo maeksi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zuerst mal zur Notation: Wenn du mit den Gesicht Richtung Strasse stehst, ist [mm] \alpha [/mm] der Winkel, un den du dich drehen musst, damit du dann direkt geradeaus den schnellsten - nicht kürzesten Weg gehen kannst.
Den Punkt, auf den du an der Strasse ankommst, nenne ich mal S
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur eigentlichen Aufgabe: Du kennst die Strecken [mm] \overline [/mm] {BC} und [mm] \overline{AC} [/mm] (Rot markiert)
Und du läuft die Strecken [mm] \overline{AS} [/mm] und [mm] \overline{SB}.
[/mm]
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
[mm] |\overline{AC}|²+|\overline{CB}|²=|\overline{AS}|²
[/mm]
Ausserdem gilt:
[mm] \overline{SB}=\overline{CB}-\overline{CS}
[/mm]
Und es gilt: [mm] tan(\alpha)=\bruch{|\overline{CS}|}{|\overline{AC}|}
[/mm]
Du willst jetzt ja den schnellsten Weg berechnen.
Der weg ist ja dieser, wie oben erwähnt:
[mm] W=|\overline{AS}|+|\overline{SB}|
[/mm]
Leider bist du auf dem Acker deutlich Langsamer, also ist die Geschwindigkeit foglendermassen zu berechnen:
[mm] V=|\overline{AS}|+2*|\overline{SB}|
[/mm]
Das ist die zu minimierende Funktion.
Jetzt musst du nur noch [mm] |\overline{AS}| [/mm] und [mm] |\overline{SB}| [/mm] ausdrücken durch eine Strecke, so dass du minimieren kannst.
Die Bedingungen stehen oben, so dass sich folgendes Ergibt:
[mm] V=\underbrace{\wurzel{\red{|\overline{AC}|}²+|\overline{CS}|²}}_{|\overline{AS}|}+2*\underbrace{(\red{|\overline{CB}|}-|\overline{CS}|)}_{|\overline{SB}}
[/mm]
Die rot markierten Stercken kennst du, also bleibt nur noch die unbekannte Strecke [mm] \overline{CS}. [/mm] Nach dieser kannst du minimieren.
Dann hast du eine Strecke, die du als Gegenkathete für den gesuchten Winkel [mm] \alpha [/mm] einsetzen kannst.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 26.07.2007 | | Autor: | maeksi |
danke:) da hab ich wieder mal viel zu kompliziert gedacht...
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