kumulanten-erzeugende Fkt. < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 12.12.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien $X$ und $Y$ unabhängige diskrete Zufallsvariablen mit endlichem Träger [mm] $T_X\subset\mathbb [/mm] R$ bzw. [mm] $T_Y\subset\mathbb [/mm] R$. Zeigen Sie, dass für die Faltung der Kumulanten-erzeugenden Funktion gilt:
[mm] $K_{X+Y}(t)=K_X(t)+K_Y(t)$. [/mm] |
Hallo, liebes Forum!
Meine Beweisidee sieht so aus (relativ straight-forward):
[mm] $K_{X+Y}(t)=\log(M_{X+Y}(t))=\log \left[E\left(e^{t(X+Y)}\right)\right]=\log\left[E\left(e^{tX+tY}\right)\right]=\log\left[E\left(e^{tX}e^{tY}\right)\right]$
[/mm]
Nun würde ich meinen, daß [mm] $e^{tX}$ [/mm] und [mm] $e^{tY}$ [/mm] zwei unabhängige Zufallsvariablen sind ($X$ und $Y$ sind nach Voraussetzung unabhängig).
Daher würde ich so weiter machen:
[mm] $=\log\left[E\left(e^{tX}\right)\cdot E\left(e^{tY}\right)\right]=\log\left[E\left(e^{tX}\right)\right]+\log\left[E\left(e^{tY}\right)\right]=\log M_X(t)+\log M_Y(t)=K_X(t)+K_Y(t)$
[/mm]
Ist das so korrekt?
Danke für ein Feedback!
LG von
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht gut aus! Und ja, es gilt: Wenn X und Y unabhängig sind, so auch f(X) und g(Y) (falls f, g messbar sind, was bei stetigen Funktionen aber der Fall ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 12.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Habe ich Dich korrekt verstanden:
Da $X$ und $Y$ n.V. unabhängig sind, sind es auch
[mm] $f(X)=e^{tX}$ [/mm] und [mm] $f(Y)=e^{tY}$, [/mm] weil
[mm] $f(z)=e^{tz}$ [/mm] eine stetige (also meßbare) Funktion ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mo 12.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Genau!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mo 12.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Lieben Dank!
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