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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Sa 03.09.2005 | | Autor: | sonic444 |
moin, wie stelle ich eine parallelkurve im abstand d=2 zu der kurve r(t)=(5cost,8sint) auf?
über den normalenvektor n(t)=2 vielleicht??? aber wie gehts dann weiter?
wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte wäre ich sehr dankbar!
habe die frage in keinem anderen forum gestellt
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Zunächst einmal ist mir nicht ganz klar, was du mit "Parallelkurve" meinst. Verstehe ich das richtig, daß jeder Punkt der gesuchten Kurve zum nächstgelegenen Punkt der gegebenen Kurve (einer Ellipse) konstanten Abstand [mm]c[/mm] haben soll? Falls ja, dann ist dein Ansatz mit dem Normalenvektor der richtige.
Zunächst einmal erhältst du durch Differentiation den Tangentialvektor zum Parameterwert [mm]t[/mm]:
[mm]\dot{r}(t)[/mm]
Mit steigendem [mm]t[/mm] umläuft er als Geschwindigkeitsvektor die Ellipse gegen den Uhrzeigersinn. Durch Vertauschen der Koordinaten und Änderung des Vorzeichens in der ersten Koordinate bekommst du einen Normalenvektor dazu:
[mm]\dot{r}(t)^{\bot}[/mm]
Er bildet mit dem Tangentialvektor ein Rechtssystem, zeigt also in das Innere der Ellipse. Somit zeigt der Gegenvektor
[mm]- \dot{r}(t)^{\bot}[/mm]
nach außen. Dieser ist jetzt zu normieren und mit dem Faktor [mm]c[/mm] zu strecken. Damit hast du als Parameterdarstellung [mm]s(t)[/mm] für deine gesuchte Kurve
[mm]s(t) = r(t) - \frac{c}{\left| \dot{r}(t) \right|} \, \dot{r}(t)^{\bot}[/mm]
Falls du die innen liegende "Parallelkurve" haben möchtest, ist das Minuszeichen der Formel durch ein Pluszeichen zu ersetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 So 04.09.2005 | | Autor: | sonic444 |
ja, die parallelkurve ist die kurve, die in jedem punkt den abstand c oder d zur ursprünglichen kurve hat.
n(t)= [mm] \bruch{(-\dot{y}(t),\dot{x}(t))}{ \wurzel{\dot{x}²(t)+\dot{y}²(t)}}
[/mm]
das heißt ich kann die parallelkurve auch nach folgender formel berechnen oder?
s(t)=r(t)-d*n(t)
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Zumindest in dem konkreten Fall der Ellipse scheint mir diese Formel richtig zu sein: Ja.
Ob das auch bei nicht so schönen Kurven, die sich wild und kreuz und quer durch die Ebene schlängeln, so ist, wäre noch zu untersuchen. Insbesondere Orientierungsfragen haben es manchmal in sich.
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