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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mo 17.01.2011 | | Autor: | MrMojo |
| Aufgabe 1 | Lösen sie die Dgl
y' = x - (y/x) |
| Aufgabe 2 | | y' = 2xy - [mm] 3x^3 [/mm] y(0) = 3/2 |
ad Aufgabe 1)
ich habe wirklich alles mögliche versucht um diese Aufgabe zu lösen,
meine erste Frage ist, kann ich bei dieser Aufgabe x=0 setzen da es ein Störfaktor ist ? oder geht das nicht ?
Ansonsten wär das naheliegendste meiner Meinung nach Substitution
y' = x - (y/x) y/x = z; y' = z+xz'
z+ xz' = x - z
z' = (1-2z)/x
Stimmt dieser Ansatz überhaupt ? Weil nach gefühlten 500 hundert mal rechnen komme ich immer noch nicht auf das gleiche Ergebnis wie WolframAlpha, wie weit kann ich mich überhaupt auf Wolfram verlassen ?
ad 2) y' = 2xy - 3x ^3
y' = [mm] x(2y-3x^2)
[/mm]
[mm] y'/(2y-3x^2) [/mm] = x
soll ich an der Stelle substituieren ?
u = 2y - [mm] 3x^2
[/mm]
du = 2 y' - 6x
y' = u'/2 + 3x
(u'/2 + 3x)/u = x
(u'+6x)/2u = x ==> wie muss ich fortfahren und Hilfe beim Punkt y(0) = 3/2
ad 3) y' = - x/y
Hilfe bei den Lösungsansätzen, ich dachte wieder an Substitution
y/x = u; y' x + xu'
x + xu' = -u^-1
xu' = -u^-1 -x
u' = -u^-1 /x -1
Stimmt meine Substitution ? wie soll ich nun integrieren ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MrMojo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen sie die Dgl
>
> y' = x - (y/x)
> y' = 2xy - [mm]3x^3[/mm] y(0) = 3/2
> y' = -x/y
> ad Aufgabe 1)
>
> ich habe wirklich alles mögliche versucht um diese Aufgabe
> zu lösen,
> meine erste Frage ist, kann ich bei dieser Aufgabe x=0
> setzen da es ein Störfaktor ist ? oder geht das nicht ?
Du kannst zunächst die homogene DGL
[mm]y' +\bruch{y}{x}=0[/mm]
lösen, bevor Du dann die partikuläre Lösung der DGL
[mm]y' +\bruch{y}{x}=x[/mm]
durch ![[]](/images/popup.gif) Variation der Konstanten bestimmst.
>
> Ansonsten wär das naheliegendste meiner Meinung nach
> Substitution
>
> y' = x - (y/x) y/x = z; y' = z+xz'
>
> z+ xz' = x - z
> z' = (1-2z)/x
Selbes Spiel wie oben.
Zuerst die homogene DGL lösen und
dann die partikuläre Lösung bestimmen.
> Stimmt dieser Ansatz überhaupt ? Weil nach gefühlten 500
> hundert mal rechnen komme ich immer noch nicht auf das
> gleiche Ergebnis wie WolframAlpha, wie weit kann ich mich
> überhaupt auf Wolfram verlassen ?
>
> ad 2) y' = 2xy - 3x ^3
> y' = [mm]x(2y-3x^2)[/mm]
> [mm]y'/(2y-3x^2)[/mm] = x
> soll ich an der Stelle substituieren ?
> u = 2y - [mm]3x^2[/mm]
> du = 2 y' - 6x
> y' = u'/2 + 3x
>
> (u'/2 + 3x)/u = x
>
> (u'+6x)/2u = x ==> wie muss ich fortfahren und Hilfe beim
Siehe Aufgabe 1)
> Punkt y(0) = 3/2
>
>
> ad 3) y' = - x/y
>
> Hilfe bei den Lösungsansätzen, ich dachte wieder an
> Substitution
> y/x = u; y' x + xu'
> x + xu' = -u^-1
Hier muss es doch heißen:
[mm]\red{u}+x*u'=-\bruch{1}{u}[/mm]
> xu' = -u^-1 -x
> u' = -u^-1 /x -1
> Stimmt meine Substitution ? wie soll ich nun integrieren
> ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 17.01.2011 | | Autor: | MrMojo |
| Aufgabe | | 1. Aufgabe y' = x - y/x |
Danke für die Hilfe,
habe soweit verstanden: y' + y/x= 0
dy/y = - dx/x
Das ganze Integriert
ln(y) = - ln(x) +c /e
y = [mm] -e^x +e^c
[/mm]
Um variation der Konstanten einzuleiten setze ich nun [mm] e^c [/mm] als A
y= [mm] A*-e^x [/mm] ??
Nun verwende ich die Produktregel und komme auf
y' = [mm] A*-e^x [/mm] + [mm] A'*-e^x
[/mm]
und das y' setze ich dann in die Anfangsbedingung ein + dem zuvor nullgesetzten x ?
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Hallo MrMojo,
> 1. Aufgabe y' = x - y/x
> Danke für die Hilfe,
>
> habe soweit verstanden: y' + y/x= 0
>
> dy/y = - dx/x
>
> Das ganze Integriert
>
> ln(y) = - ln(x) +c /e
Na, erstmal doch [mm]\ln(|y|)=-\ln(|x|)+c[/mm]
>
> y = [mm]-e^x +e^c[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das gibt doch [mm]|y|=e^{-\ln(|x|)+c}=e^{-\ln(|x|)}\cdot{}e^{c}=\frac{1}{|x|}\cdot{}e^c[/mm]
>
> Um variation der Konstanten einzuleiten setze ich nun [mm]e^c[/mm]
> als A ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> y= [mm]A*-e^x[/mm] ??
Nein, [mm]y=A\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
>
> Nun verwende ich die Produktregel und komme auf
Erstmal mache die Konstante von x abh., also
[mm]y(x)=A(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm]
Ab hier nochmal neu rechnen ...
>
> y' = [mm]A*-e^x[/mm] + [mm]A'*-e^x[/mm]
>
> und das y' setze ich dann in die Anfangsbedingung ein + dem
> zuvor nullgesetzten x ?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 17.01.2011 | | Autor: | MrMojo |
Habe ab hier weitergerechnet
y= A* 1/x
y' = x - (A-x^-1)/x
y' = x- (A/x)/x
y' = x - [mm] A/x^2
[/mm]
Integriert
y = [mm] x^2 [/mm] /2 + A/x
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Hallo nochmal,
> y' = x - y/x
> Habe ab hier weitergerechnet
>
> y= A* 1/x
>
> y' = x - (A-x^-1)/x
>
> y' = x- (A/x)/x
>
> y' = x - [mm]A/x^2[/mm]
Ich kapiere nicht so ganz, was du machst.
Mit [mm]y(x)=A(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] ist zum einen [mm]y'(x)=\red{A'(x)\cdot{}\frac{1}{x}-\frac{A(x)}{x^2}}[/mm]
Zum anderen, wenn du [mm]y(x)=A(x)\cdot{}\frac{1}{x}[/mm] in die Ausgangsdgl einsetzt:
[mm]y'(x)=x-\frac{\frac{A(x)}{x}}{x}=\red{x-\frac{A(x)}{x^2}}[/mm]
Vergleichst du nun beide roten Ausdrücke für [mm]y'(x)[/mm], so ist [mm]A'(x)\cdot{}\frac{1}{x}=x[/mm]
Also [mm]A'(x)=x^2[/mm]
Nun integrieren, um [mm]A(x)[/mm] zu bestimmen!
>
> Integriert
>
> y = [mm]x^2[/mm] /2 + A/x
Gruß
schachuzipus
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