kurze frage zur diagonalisieru < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Bestimme eine Matrix S [mm] \in Gl_3(\IR) [/mm] , so dass für
A= 3 6 1
6 -5 -2
1 -2 -4
die Matrix S^tAS Diagonalgestalt hat. |
HAllo
eine allgemeine Frage:
diese Aufgabe kann ich doch mit dem Gram-Schmidtorhnormalisierungsverfahren lösen oder durch Zeilenumformungen mit der Einheitsmatrix, oder?
Gruß
Kreide
|
|
| |
|
Hallo Kreide,
> Bestimme eine Matrix S [mm]\in Gl_3(\IR)[/mm] , so dass für
>
> [mm] A=\pmat{3&6&1\\6&-5&-2\\1&-2&-4}
[/mm]
>
>
> die Matrix S^tAS Diagonalgestalt hat.
> HAllo
>
> eine allgemeine Frage:
> diese Aufgabe kann ich doch mit dem
> Gram-Schmidtorhnormalisierungsverfahren ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
wie das?
> lösen oder durch
> Zeilenumformungen mit der Einheitsmatrix, oder?
Das brauchst du schon eher im Verlaufe der Rechnung
Ziel ist es, die Matrix A zu diagonalisieren, fange mal damit an, die Eigenwerte von A zu bestimmen
Dann brauchst du die Eigenvektoren zu den Eigenwerten, die du dann als Spalten in die transformierende Matrix S stopfst.
Bedenke aber die Kriterien für Diagonalisierbarkeit und dass du hier eine symmetrische Matrix hast...
> Gruß
> Kreide
LG
schacjuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo Schachuzipus!
> > eine allgemeine Frage:
> > diese Aufgabe kann ich doch mit dem
> > Gram-Schmidtorhnormalisierungsverfahren
>
> wie das?
>
meinst du dass man hier in der Aufgabe gar nicht verwenden kann?
> > lösen oder durch
> > Zeilenumformungen mit der Einheitsmatrix, oder?
>
> Das brauchst du schon eher im Verlaufe der Rechnung
das ist mir schon klar, dass man erst die Eigenvektoren berechnen muss und DIE dann orthnormalisieren müsste.
Ist Lineare Algebra 1 haben wir ja immer nur die Eigenvektoren berechnet und die dann in die Matrix getan und hatten dann unsere diagonalmatirx
aber in Lineare Algebra 2 haben wir immer die Vektoren noch orhnormalisiert.(Wieso eigentlich?)
Wieso muss man einmal die Eigenvektoren orthogonalisieren und warum einmal nicht?
> > Gruß
> > Kreide
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus!
> > > eine allgemeine Frage:
> > > diese Aufgabe kann ich doch mit dem
> > > Gram-Schmidtorhnormalisierungsverfahren
> >
> > wie das?
> >
> meinst du dass man hier in der Aufgabe gar nicht verwenden
> kann?
> > > lösen oder durch
> > > Zeilenumformungen mit der Einheitsmatrix, oder?
> >
> > Das brauchst du schon eher im Verlaufe der Rechnung
>
> das ist mir schon klar, dass man erst die Eigenvektoren
> berechnen muss und DIE dann orthnormalisieren müsste.
>
> Ist Lineare Algebra 1 haben wir ja immer nur die
> Eigenvektoren berechnet und die dann in die Matrix getan
> und hatten dann unsere diagonalmatirx
>
> aber in Lineare Algebra 2 haben wir immer die Vektoren noch
> orhnormalisiert.(Wieso eigentlich?)
>
> Wieso muss man einmal die Eigenvektoren orthogonalisieren
> und warum einmal nicht?
Zunächst mal reicht zum Diagonalisieren ja schon eine Basis aus Eigenvektoren.
Hier hast du den Spezialfall, dass A symmetrisch ist, da sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten schon per se orthogonal...
Hat deine Matrix verschiedene EWe?
Also ist hier Gram-Schmidt nicht nötig
Außerdem steht in der Aufgabenstellung nur was von Diagonalisieren und nicht von ONB 
>
> > > Gruß
> > > Kreide
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
|
