l'Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Bestimme folgende Grenzwerte mit Hilfe von l'Hospital:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosh(x)}{x}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^2+1}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\frac{4x^3-5x}{e^{2x}}
[/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{cot(x)}{ln(x)} [/mm] |
Hallo, wenn jemand kontrollieren könnte, wäre das topp :)
Zu a):
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosh(x)}{x}. [/mm] Hier liegt der Fall [mm] \frac{0}{0} [/mm] vor. Mit l'Hospital ergibt sich dann: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{-sinh(x)}{1}=0
[/mm]
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Zu b):
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^2+1}. [/mm] Hier ist der Fall [mm] \frac{\infty}{\infty}. [/mm] Zweimaliges anwenden von l'Hospital ergibt:
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{2+1}=\infty
[/mm]
-------------------------------------
Zu c):
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\frac{4x^3-5x}{e^{2x}}. [/mm] Analog zu b) folgt:
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\frac{24}{8e^{2x}}=0
[/mm]
------------------------------------
Zu d):
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{cot(x)}{ln(x)} [/mm] Fall: 0/0.
Also: [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{cot(x)}{ln(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{-1}{sin²(x)}}{\frac{1}{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{-x}{sin²(x)}. [/mm] Nun wieder Fall 0/0. Daher:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{-x}{sin²(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{-1}{2\cdot sin(x) \cdot cos(x)}
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter... mein TR sagt, dass es gegen 0 laufen muss, aber das krieg ich so nicht gezeigt. Was mache ich falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Hanz |
Aber wenn ich jetzt bei d) im letzten Schritt den Limes betrachte, dann bekomme ich wegen dem Sinus doch Null im Nenner! Oder hab ich gerade ein Brett vorm Kopf?
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Hallo, wende L'Hospital bei Aufgabe d) erneut an, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Hanz |
Ich habe $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{-1}{2\cdot sin(x) \cdot cos(x)} [/mm] $ ja im Nenner den Fall 0 [mm] \cdot \infty, [/mm] oder?
Aber wie ich dann auf [mm] -\infty [/mm] komme...
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Hallo Hanz,
> Ich habe [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+}\frac{-1}{2\cdot sin(x) \cdot cos(x)}[/mm]
> ja im Nenner den Fall 0 [mm]\cdot \infty,[/mm] oder?
>
> Aber wie ich dann auf [mm]-\infty[/mm] komme...
Für x > 0 ist [mm]\sin\left(x\right) > 0[/mm] und [mm]\cos\left(x\right) > 0[/mm]
Damit ist der Nenner ebenfalls > 0.
Gruss
MathePower
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