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| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert mit de l'Hosptila:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1^-} [/mm] ln(x) ln(1-x) |
Hi,
also:
ln(x) ln(1-x) = [mm] \frac{ ln(1-x)}{\frac{1}{ln(x)}}
[/mm]
1) Nenner und Zähler sind differenzierbar auf [mm] \IR^+
[/mm]
2) [mm] \frac{1}{ln(x)} \not= [/mm] 0 [mm] ,x\in\IR^+\backslash{1}
[/mm]
3) [mm] \limes_{x\rightarrow 1^-} [/mm] ln(1-x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 1^-} \frac{1}{ln(x)} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
somit kann ich Hospital anwenden:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{ ln(1-x)}{\frac{1}{ln(x)}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{\frac{1}{1-x}}{\frac{-1}{x*ln^2(x)}} [/mm] = [mm] \frac{\infty}{-\infty}
[/mm]
hier würde ich ja eingentlich wieder Hospital anwenden, aber das geht doch gar nicht, weil Nenner und Zähler verschiedene Grenzwerte haben,oder ?
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Berechnen Sie den Grenzwert mit de l'Hosptila:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-}[/mm] ln(x) ln(1-x)
> Hi,
>
> also:
> ln(x) ln(1-x) = [mm]\frac{ ln(1-x)}{\frac{1}{ln(x)}}[/mm]
> 1)
> Nenner und Zähler sind differenzierbar auf [mm]\IR^+[/mm]
> 2) [mm]\frac{1}{ln(x)} \not=[/mm] 0 [mm],x\in\IR^+\backslash{1}[/mm]
> 3) [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-}[/mm] ln(1-x) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-} \frac{1}{ln(x)}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> somit kann ich Hospital anwenden:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{ ln(1-x)}{\frac{1}{ln(x)}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{\frac{1}{1-x}}{\frac{-1}{x*ln^2(x)}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vereinfachen!
[mm] $=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{x\ln^2(x)}{1-x}=\frac{1\cdot{}0}{0}=\frac{0}{0}$
[/mm]
Also nochmal ran mit de l'Hôpital ...
> = [mm]\frac{\infty}{-\infty}[/mm]
> hier würde ich ja eingentlich wieder Hospital anwenden,
> aber das geht doch gar nicht, weil Nenner und Zähler
> verschiedene Grenzwerte haben,oder ?
Nein, das ist doch der Fall [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Also kannst du de l'Hôpital nochmal anwenden, ich würde aber wie oben erwähnt vorher vereinfachen, sonst kommst du beim weiteren Ableiten in Teufels Küche ...
>
> Snafu
>
Gruß
schachuzipus
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Hi,
ich habe dann stehen [mm] \limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{-xln^2(x)}{1-x}
[/mm]
die Bedingungen sind alle erfüllt
=> [mm] \limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{-xln^2(x)}{1-x} =\limes_{x\rightarrow 1^-} \frac{-ln^2(x)-x2ln(x)\frac{1}{x}}{-1}= \limes_{x\rightarrow 1^-}ln^2(x) [/mm] + 2ln(x)=0
Stimmt das so?
Snafu
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Hallo nochmal,
> Hi,
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> ich habe dann stehen [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{-xln^2(x)}{1-x}[/mm]
Da ist ein "-" zuviel ...
Hast du an die Kettenregel gedacht? [mm] $\left[\ln(1-x)\right]'=\frac{1}{1-x}\cdot{}-1)$
[/mm]
Ändert aber am Endergebnis nix: -0=0 
>
> die Bedingungen sind alle erfüllt
> => [mm]\limes_{x\rightarrow 1^-}\frac{-xln^2(x)}{1-x} =\limes_{x\rightarrow 1^-} \frac{-ln^2(x)-x2ln(x)\frac{1}{x}}{-1}= \limes_{x\rightarrow 1^-}ln^2(x)[/mm]
> + 2ln(x)=0
>
> Stimmt das so?
0 ist richtig!
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mi 09.06.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
stimmt Kettenregel vergessen. Danke!!
snafu
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