länge von kurven < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Kathinka |
ich habe die gleichung [mm] f(x)=3x^4-1/2x [/mm] gegeben
die formel zur berechnung der länge von kurven ist
L(c):= [mm] \integral_{a}^{b}{|c'(t)| dt}
[/mm]
ich habe nun keine ahnung, wie ich das zusammenbringen soll. setze ich für c' die ableitung von f(x) ein?? aber dann müsste ich durch das stammfunktion bilden im nächsten schritt das doch gleich wieder rückgängig machen... kann also nicht so wirklich sein....
lg katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 06.10.2006 | | Autor: | volta |
Hallo Kathinka,
es gilt zunächst die Parameterdarstellung des Weges c zu finden.
Wenn man sich wie hier im [mm] $\IR^{2}$ [/mm] befindet, bedeutet das also $c(t) = [mm] \vektor{t\\3t^{4} - \bruch{1}{2}t}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [a,b].$ Berechne dann die Norm der Ableitung nach t und integriere über t.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Kathinka |
ok dankeschön, mit der parameterdarstellung kann ich was anfangen.
aber den ausdruck "die Norm der Ableitung nach t" hab ich noch nie gehört, was meint das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Sa 07.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Norm hier=Betrag des Vektors. also 1. komponentenweise ableiten, dann Betrag bilden.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Sa 07.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Norm ist der andere Ausdruck für Betrag des Vektors. also erst ableiten, dann den Betrag.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:39 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Kathinka |
ok, dankeschön :)
hab trotzdem noch ein paar unklarheiten:
wieso muss man das erst in die parameterform bringen?
wenn ich die ableitung von [mm] \vektor{t \\ 3t^4-1/2t} [/mm] bilde, ist diese dann ganz normal [mm] \vektor{1 \\ 12t³-1/2} [/mm] ?
was meint ich bilde den betrag davon, das ganze ist ja schon positiv, kann ich es also so lassen?
soweit :) lg katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Sa 07.10.2006 | | Autor: | legris |
Hallo Kathinka!
Betrag bilden heisst: Die Länge des "Vektors" berechnen, wenn man die Parameterdarstellung der Kurve als Vektor auffasst. Dies führt also zu folgendem:
[mm] \vmat{\vektor{1 \\ 12t³-1/2}}=\wurzel{1^{2}+(12t^{3}-\bruch{1}{2})^{2}}
[/mm]
[mm] L=\integral_{a}^{b}\wurzel{1+(12t^{3}-\bruch{1}{2})^{2}}{dx}
[/mm]
Dieses Integral gilt es nun zu lösen.
Noch was zur Formel:
Anstatt über die Parametrisierung zu gehen, kannst du auch direkt die Formel für Funktionen y=f(x) verwenden:
[mm] L=\integral_{a}^{b}\wurzel{1+f'(x)^{2}}{dx}
[/mm]
Dies führt nämlich direkt auf das zu lösende Integral...
Gruss, legris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Kathinka |
juchuh, ich habs verstanden :) dankeschön
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