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laurentreihenentwicklung: Entwicklung um p
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Do 22.03.2012
Autor: euklidischerraum

Hallo zusammen

habe gerade folgendes Problem:

Ich will die Laurentreihe von [mm] \bruch{1}{(z-i)*(z+i)} [/mm]
um [mm] z_{0}= [/mm] i entwickeln.
Geht das überhaupt und wenn ja wie?

Liebe Grüße an alle

        
Bezug
laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo euklidischerraum,


> Hallo zusammen
>
> habe gerade folgendes Problem:
>  
> Ich will die Laurentreihe von [mm]\bruch{1}{(z-i)*(z+i)}[/mm]
>  um [mm]z_{0}=[/mm] i entwickeln.


Hier fehlt die Angabe des Konvergenzgebietes.


>  Geht das überhaupt und wenn ja wie?
>


Mache zunächst eine Partialbruchzerlegung:

[mm]\bruch{1}{(z-i)*(z+i)}=\bruch{A}{z-i}+\bruch{B}{z+i}[/mm]

Entwickle dann [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] in eine geometrische Reihe um [mm]z_{0}=i[/mm]


> Liebe Grüße an alle  


Gruss
MathePower

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laurentreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Do 22.03.2012
Autor: euklidischerraum

Vielen Dank für die schnelle Antwort

könntest du mir vielleicht noch kurz erklären was mit dem zweiten Term passiert, danke schon mal im Voraus

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Bezug
laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo euklidischerraum,

> Vielen Dank für die schnelle Antwort
>  
> könntest du mir vielleicht noch kurz erklären was mit dem
> zweiten Term passiert, danke schon mal im Voraus


Der Term [mm]\bruch{1}{z-i}[/mm] bleibt unverändert,
das dies schon die verlangte Entwicklung ist.


Gruss
MathePower

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laurentreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Do 22.03.2012
Autor: euklidischerraum

kannst du kurz schauen ob das stimmt ?

L(z)=  [mm] \bruch{A}{(z-i)} [/mm] + [mm] -(B)*\summe_{i=0}^{n}(z)^n [/mm]



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laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo euklidischerraum,

> kannst du kurz schauen ob das stimmt ?
>  
> L(z)=  [mm]\bruch{A}{(z-i)}[/mm] + [mm]-(B)*\summe_{i=0}^{n}(z)^n[/mm]
>  


Nein, das stimmt nicht.

1. Die Koeffizienten A bzw. B sind noch zu ermitteln.

2. Es  ist doch

[mm]\bruch{1}{z+i}=\bruch{1}{2i+\left(z-i\right)}=\bruch{1}{2i}*\bruch{1}{1-\left(-\bruch{z-i}{2i}\right)}[/mm]


Gruss
MathePower


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Bezug
laurentreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Do 22.03.2012
Autor: euklidischerraum

Ich habe nun A =1 und B =-1

Aber wie mache ich nun weiter?






gruß eucklidischerraum

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Bezug
laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Do 22.03.2012
Autor: MathePower

Hallo euklidischerraum,

> Ich habe nun A =1 und B =-1

>


Post dazu Deine Rechenschritte.

  

> Aber wie mache ich nun weiter?
>  


>
> gruß eucklidischerraum



Gruss
MathePower

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Bezug
laurentreihenentwicklung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Do 22.03.2012
Autor: euklidischerraum

Ich habe nun  A und B eingesetzt und erhalte somit

[mm] \bruch{1}{(z-i)}-\bruch{1}{(z+i)} [/mm]

wenn ich nun um den Punkt i entwickle erhalte ich

[mm] \bruch{1}{(z-i)}- (\bruch{1}{2i})*\summe_{i=0}^{n}(z/2i) [/mm]

Gruß

Bezug
                                                                        
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laurentreihenentwicklung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Fr 23.03.2012
Autor: fred97


> Ich habe nun  A und B




A=1, B=-1 stimmt nicht !


> eingesetzt und erhalte somit
>  
> [mm]\bruch{1}{(z-i)}-\bruch{1}{(z+i)}[/mm]
>  
> wenn ich nun um den Punkt i entwickle erhalte ich
>
> [mm]\bruch{1}{(z-i)}- (\bruch{1}{2i})*\summe_{i=0}^{n}(z/2i)[/mm]


Das stimmt nicht.  [mm] \bruch{B}{z+i} [/mm]  muß doch in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt [mm] z_0=i [/mm] entwickelt werden !

FRED

>  
> Gruß


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