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Hallo zusammen
habe gerade folgendes Problem:
Ich will die Laurentreihe von [mm] \bruch{1}{(z-i)*(z+i)}
[/mm]
um [mm] z_{0}= [/mm] i entwickeln.
Geht das überhaupt und wenn ja wie?
Liebe Grüße an alle
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Hallo euklidischerraum,
> Hallo zusammen
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> habe gerade folgendes Problem:
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> Ich will die Laurentreihe von [mm]\bruch{1}{(z-i)*(z+i)}[/mm]
> um [mm]z_{0}=[/mm] i entwickeln.
Hier fehlt die Angabe des Konvergenzgebietes.
> Geht das überhaupt und wenn ja wie?
>
Mache zunächst eine Partialbruchzerlegung:
[mm]\bruch{1}{(z-i)*(z+i)}=\bruch{A}{z-i}+\bruch{B}{z+i}[/mm]
Entwickle dann [mm]\bruch{1}{z+i}[/mm] in eine geometrische Reihe um [mm]z_{0}=i[/mm]
> Liebe Grüße an alle
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für die schnelle Antwort
könntest du mir vielleicht noch kurz erklären was mit dem zweiten Term passiert, danke schon mal im Voraus
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Hallo euklidischerraum,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort
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> könntest du mir vielleicht noch kurz erklären was mit dem
> zweiten Term passiert, danke schon mal im Voraus
Der Term [mm]\bruch{1}{z-i}[/mm] bleibt unverändert,
das dies schon die verlangte Entwicklung ist.
Gruss
MathePower
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kannst du kurz schauen ob das stimmt ?
L(z)= [mm] \bruch{A}{(z-i)} [/mm] + [mm] -(B)*\summe_{i=0}^{n}(z)^n
[/mm]
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Hallo euklidischerraum,
> kannst du kurz schauen ob das stimmt ?
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> L(z)= [mm]\bruch{A}{(z-i)}[/mm] + [mm]-(B)*\summe_{i=0}^{n}(z)^n[/mm]
>
Nein, das stimmt nicht.
1. Die Koeffizienten A bzw. B sind noch zu ermitteln.
2. Es ist doch
[mm]\bruch{1}{z+i}=\bruch{1}{2i+\left(z-i\right)}=\bruch{1}{2i}*\bruch{1}{1-\left(-\bruch{z-i}{2i}\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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Ich habe nun A =1 und B =-1
Aber wie mache ich nun weiter?
gruß eucklidischerraum
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Hallo euklidischerraum,
> Ich habe nun A =1 und B =-1
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Post dazu Deine Rechenschritte.
> Aber wie mache ich nun weiter?
>
>
> gruß eucklidischerraum
Gruss
MathePower
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Ich habe nun A und B eingesetzt und erhalte somit
[mm] \bruch{1}{(z-i)}-\bruch{1}{(z+i)}
[/mm]
wenn ich nun um den Punkt i entwickle erhalte ich
[mm] \bruch{1}{(z-i)}- (\bruch{1}{2i})*\summe_{i=0}^{n}(z/2i)
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe nun A und B
A=1, B=-1 stimmt nicht !
> eingesetzt und erhalte somit
>
> [mm]\bruch{1}{(z-i)}-\bruch{1}{(z+i)}[/mm]
>
> wenn ich nun um den Punkt i entwickle erhalte ich
>
> [mm]\bruch{1}{(z-i)}- (\bruch{1}{2i})*\summe_{i=0}^{n}(z/2i)[/mm]
Das stimmt nicht. [mm] \bruch{B}{z+i} [/mm] muß doch in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt [mm] z_0=i [/mm] entwickelt werden !
FRED
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> Gruß
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