liegender zylinder, füllmarken < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Mi 07.09.2005 | | Autor: | D1V |
Hi folks, folgende aufgabe bereitet mir kopfzerbrechen:
gegeben sei ein liegender zylinder mit dem volumen = 1000l
nun sollen, an einer der beiden Grundflächen, füllmarken für die füllhöhen 100l, 200l, ... , 1000l angebracht werden.
die länge und der radius des zylinders sind hierbei unbekannt.
danke schon mal für eure mühen
mfg d1v
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Mi 07.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Niels,
ich finde, ein paar Gedanken solltest du dir auch schon selbst machen.
Die Höhe des liegenden Zylinders ist doch 2r, und das Ding ist irgendwie symmetrisch. Wo kommen dann die Markierungen für 500 und für 1000 l hin? Warum kann man aber nicht einfach den Durchmesser in 10 gleiche Intervalle teilen? Hängt die Unterteilung von der Länge ab?
> Hi folks, folgende aufgabe bereitet mir kopfzerbrechen:
>
> gegeben sei ein liegender zylinder mit dem volumen = 1000l
> nun sollen, an einer der beiden Grundflächen, füllmarken
> für die füllhöhen 100l, 200l, ... , 1000l angebracht
> werden.
> die länge und der radius des zylinders sind hierbei
> unbekannt.
> danke schon mal für eure mühen
> mfg d1v
>
Wenn du so erste Ansätze beigebracht hast, die vielleicht ja falsch sind, macht jemand weiter, da bin ich sicher.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mi 07.09.2005 | | Autor: | D1V |
dass man die füllhöhen für 500 l und 1000 l ohne besonders große anstrengung ermitteln verstehe ich
und dass das verhältnis von der füllhöhe zum durchmesser nicht von der länge abhängig ist, verstehe ich auch
die einteilung in 10 gleiche intervalle ist nicht möglich, weil das eingefüllte wasser im unteren und oberen bereich des zylinders schneller steigt als im mittleren
soweit habe ich die aufgabe wohl verstanden und dass man als näherungslösung eine funktion 3. grades mit einem sattelpunkt in (0,5/0,5)
benutzen kann,
aber diese funktion beschreibt nur einen annähernden zylinder, so müsste der körper im unteren und oberen bereich "spitzer" zusammenlaufen als der zylinder.
gibt es nicht einen lösungsweg, indem die flächenstücke der oberfläche bei einer bestimmten füllhöhe eine rolle spielen?
oder eine andere lösung, die zu einem exakten ergebnis führt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mi 07.09.2005 | | Autor: | statler |
...das ist doch schon mal was, Niels.
>
> dass man die füllhöhen für 500 l und 1000 l ohne besonders
> große anstrengung ermitteln verstehe ich
>
Vielleicht kannst du dir auch zurechtlegen, wie man aus der Füllhöhe für 100 l diejenige für 900 l ermittelt? Und entsprechend natürlich für andere Paare...
> und dass das verhältnis von der füllhöhe zum durchmesser
> nicht von der länge abhängig ist, verstehe ich auch
>
> die einteilung in 10 gleiche intervalle ist nicht möglich,
> weil das eingefüllte wasser im unteren und oberen bereich
> des zylinders schneller steigt als im mittleren
Ebend!
>
> soweit habe ich die aufgabe wohl verstanden und dass man
> als näherungslösung eine funktion 3. grades mit einem
> sattelpunkt in (0,5/0,5)
> benutzen kann,
Vielleicht ist das so, aber das verstehe ich im Moment nicht, warum soll das so sein?
>
> aber diese funktion beschreibt nur einen annähernden
> zylinder, so müsste der körper im unteren und oberen
> bereich "spitzer" zusammenlaufen als der zylinder.
>
Ich würde damit anfangen, den Kreis in 10 gleichflächige Kreisabschnitte (oder wie die Dinger auch heißen mögen, also so Scheiben) zu unterteilen. Dafür braucht man sicher eine Flächenformel, die ich so nicht kann. Such sie dir, im Internet oder sonstwo, und dann leg los.
> gibt es nicht einen lösungsweg, indem die flächenstücke der
> oberfläche bei einer bestimmten füllhöhe eine rolle
> spielen?
> oder eine andere lösung, die zu einem exakten ergebnis
> führt?
>
Nur Mut, das geht schon
Dieter
PS: Ein Baumstamm ist doch auch ein Zylinder, weißt du, wie der im Sägewerk zerlegt wird? So teilst du deinen Zylinder in 100-l-Bretter. Das Volumen ist einfach Stirnfläche mal Länge, und Gesamtvol. ist hier [mm] \pi [/mm] * [mm] r^{2}*l [/mm] = 1000.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Mi 07.09.2005 | | Autor: | D1V |
hallo dieter, danke für deine mühe, die fläche eines jeden kreisabschnittes müsste doch (1/10)* [mm] \pi*r² [/mm] sein,
jedoch kann ich das volumen der scheiben nicht ausrechnen, da ich die länge nicht weiß
zu meiner näherungslösung:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
wenn man nun die bekannten punkte einsetzt (P(1/1); Q(0/0); S(0,5/0,5)), und die gleichungssysteme löst,
ergibt sich folgende
funktion f(x)=4x³-6x²+3x, die in etwa das anstiegsverhalten eines liegenden zylinders beschreibt,
wobei die x-achse den anteil des eingefüllten volumens am gesamtvolumen zeigt und die y-achse dem anteil des durchmessers entspricht
gruß niels
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mi 07.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich fürchte es gibt keine einfache Lösung, weil es keine "einfache" Formel für den Kreisabschnitt gibt.
Höhe des Kreisabschnitts h, Winkel von der Mitte [mm] \alpha.
[/mm]
[mm] A=\bruch{\alpha}{360}*\pi*r^{2}-r^{2}\sin(\alpha/2)*\cos(\alpha/2)
[/mm]
[mm] \sin(\alpha/2),\cos(\alpha/2) [/mm] kann man leicht aus h,r berechnen, dann hat man noch [mm] \alpha [/mm] aus der Umkehrfunktion. das nach h aufzulösen geht nur numerisch, dann allerdings beliebig genau, sodass man theoretisch deine Höhenskala leicht herstelllen kann, aber eben numerisch nicht explizit!
Du musst also wohl bei deiner Näherungsfkt. bleiben: Sonst bleibt noch den Kreis stückweise durch Parabeln zu ersetzen, das wird auch ganz schön genau.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Cool-Y |
hab da ma ne frage...
...könnte man nicht einen halbkreis als funktion nehmen:
[mm] f(x)=\wurzel{r^{2}-x^{2}} [/mm] und dann mit dessen integral eine flächenformel rausfinden, oder führt das auf die selbe, komplizierte formel(ich kenn mich noch nicht so gut mit integralen aus...)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 07.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Cool-Y!
An sich ist Deine Idee ja wirklich gut.
Aber leider kommt dann natürlich auch irgendwann die Stammfunktion der Kreisfunktion $y \ = \ f(x) \ = \ [mm] \wurzel{r^2-x^2}$ [/mm] ins Spiel.
Und diese lautet: $F(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{2}*\wurzel{r^2-x^2} [/mm] + [mm] \bruch{r^2}{2}*\arcsin\left(\bruch{x}{r}\right)$
[/mm]
Du siehst, "wesentlich einfacher" ist leider nicht  .
Ansonsten kann man sich ja vielleicht diesen Thread dazu ansehen ...
Gruß
Loddar
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