lim einer e-Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{1}{10}(x+3)*e^{2-x}
[/mm]
Weisen Sie nach, dass gilt : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = 0 |
Hallo,
bei dieser Aufgabe ist eigentlich kein spezielles Vorgehen gefordert. In der Lösung steht aber etwas von l'hospitalsche Regeln ( lim-Regeln ) , ich habe jetzt nach 2 Wochen mein Abitur und wir haben das noch nie duchgenommen.
Kann man das auch anders lösen , als mit dieser l'Hospitalschen Regel ? Zum Beispiel mit Testeinsetzungen ? Also einfach mal [mm] 10^5 [/mm] einsetzen für x ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo pc_doctor,
wenn ihr die Regeln von L'Hospital nicht hattet, kann auch keiner von Dir verlangen, diese anzuwenden. Das Einsetzen von Zahlen gibt ein Gefühl, wie das Ganze ausgehen könnte, ein Beweis ist es jedoch nicht.
Was man machen kann, ist folgendes: Screibe die e-Funktion als Potenzreihe, die Du dann mit [mm] \bruch{1}{10} (x+3) [/mm] multiplizerst. Das musst Du nicht für alle Glieder dieser Potenzreihe explizit machen, Du wirst jedoch anhand der einzelnen Glieder der Reihe schnell sehen, dass diese gegen 0 streben, wenn x gegen unendlich läuft.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 01.04.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank für den Tipp.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 01.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo pc-doctor,
ich bin nicht sicher, ob die von Infinit aufgezeigte Idee
dieselbe ist wie die meine.
Aber ich würde [mm] $\frac{1}{10}\cdot(x+3)\cdot e^{2-x}$
[/mm]
erst mal umformen in [mm] $\frac{e^2}{10}\cdot\frac{x+3}{e^x}$.
[/mm]
Dann [mm] $e^x$ [/mm] entwickeln in eine Potenzreihe :
[mm] $\frac{e^2}{10}\cdot\frac{x+3}{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots}$
[/mm]
Es ist leicht? zu sehen, dass
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{e^2}{10}\cdot\frac{x+3}{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots}\right)=0$.
[/mm]
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mo 01.04.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Ja, so hatte ich das auch verstanden , und bin auch ( nach langem Rechnen ) darauf gekommen. Ich gucke mir aber nochmal die l'Hospitalschen Regeln an, denn die Aufgabe war eine Abituraufgabe.
Vielen Dank nochmal.
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