lim sup / lim inf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen,
eigentlich ist das schon peinlich, was ich hier schreiben werde, aber aus irgendeinem mir nicht klarem Grund, kann ich diese Schlussfolgerung nicht nachvollziehen.
Es geht sich um lim sup & lim inf ...
Mir ist die Definition der beiden Begriffe klar , also sprich
[mm] \lim sup a_n := \lim ( \sup \{ a_k : k \ge n \} [/mm] ist monoton fallend und wenn die [mm] ( a_n ) [/mm] beschränkt sind, dann ist dies der größe Häufungspunkt.
Entsprechend:
[mm] \lim inf a_n := \lim ( \inf \{ a_k : k \ge n \} [/mm] ist monoton steigend und wenn die [mm] ( a_n ) [/mm] beschränkt sind, dann ist dies der kleinste Häufungspunkt.
So, aber wenn ich dies jetzt auf folgende Sache übertrage, hackt es irgendwo :-( ..
Ist [mm] ( E_n )_{ n \in \IN } [/mm] eine Folge von Ereignissen , so wird
[mm]\bigcup_{ n = 1 }^\infty E_n [/mm] bzw. [mm] \bigcap_{n = 1 }^\infty E_n [/mm]
als das Ereignis " [mm] E_n [/mm] tritt für gewissen n ein " bzw. " [mm]
E_n [/mm] tritt für alle n ein " angesehen.
[ Dies ist mir alles bis jetzt komplett klar... ]
Schließlich setzt man:
( * ) [mm] \{ E_n \ fuer \ schließlich \ alle \ n \} : = \liminf_{n \to \infty } E_n [/mm]
( ** ) [mm] \{ E_n \ fuer \ unendlich \ viele \ n \} : = \limsup_{n \to \infty } E_n [/mm]
So, hier ist mein Promlem :-( ... Ich verstehe (*) und (**) nicht!
Ich habe mir versuch dies mit der folgenden Gleichung besser zu verdeutlich..
[mm] \liminf_{n \to \infty } E_n = \bigcup_{n = 1}^\infty ( \bigcap_{ m = n }^\infty A_m ) [/mm]
[mm] \limsup_{n \to \infty } E_n = \bigcap_{n = 1}^\infty ( \bigcup_{ m = n }^\infty A_m ) [/mm]
Leider versteh ich den Zusammenhang nicht ganz , mit dem " schließlich alle " und " lim inf " bzw. " unendlich viele " und " lim sup " :-( ...
Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann!?
Vielen Dank schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 09.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Es geht hier nicht um den Limes Inferior/Superior einer Zahlenfolge, sondern einer Folge von Mengen, das ist was anderes. Wie du schon geschrieben hast ist für eine Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}\subset\mathcal{P}(X)$ [/mm] der Limes Superior definiert als [mm] $$\liminf_{n\to\infty} A_n:=\bigcup_{n\in\IN}\left(\bigcap_{m=n}^\infty A_m\right)\subset [/mm] X$$ D.h. der Limes Inferior einer Folge von Mengen ist wieder eine Menge. Was bedeutet es für ein [mm]x\in X[/mm], in [mm] $\liminf A_n$ [/mm] zu liegen? Nach Definition heißt das [mm] $$x\in\bigcup_{n\in\IN}\left(\bigcap_{m=n}^\infty A_m\right)\quad\gdw\quad \exists n\in\IN:\forall m\ge n:x\in A_m\quad\gdw\quad x\in A_m\text{ für alle bis auf endlich viele }m\in\IN$$ [/mm] Analog erhält man [mm] $$x\in\limsup A_n\quad\gdw\quad\forall n\in\IN:\exists m\ge n:x\in A_m\quad\gdw\quad x\in A_m\text{ für unendlich viele }m$$ [/mm] Vielleicht hilft dir das ja erstmal weiter.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Als erstes vielen Dank für die Antwort! Ja, es wird schon alles etwas klarer für mich...Das mit dem Limes Superior denke ich verstanden zu haben, aber mit dem Limes Inferior noch leider nicht ganz :-(.
Mir stellt sich gerade die Frage, ob sich die beiden folgenden Aussagen
nicht ausschließen.. und zwar nach Definition ist ja
[mm]\liminf_{n\to\infty} A_n:=\bigcup_{n\in\IN}\left(\bigcap_{m=n}^\infty A_m\right)\subset X[/mm]
Und dementspechend bedeutet dies:
> [mm]x\in\bigcup_{n\in\IN}\left(\bigcap_{m=n}^\infty A_m\right)\quad\gdw\quad \exists n\in\IN:\forall m\ge n:x\in A_m\quad\gdw\quad x\in A_m\text{ für alle bis auf endlich viele }m\in\IN[/mm]
Also gilt dies für alle bis auf endlich viele [mm] m \in \IN [/mm].
Nun heißt es aber hier, dass
[mm] \liminf_{n \to \infty } A_n := \{ A_n \ fuer \ schließlich \ alle \ n \} [/mm]
Schließen sich denn dieses " bis auf endlich viele m " und das " für schließlich alle n " nicht aus?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Sa 10.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Schließen sich denn dieses " bis auf endlich viele m "
> und das " für schließlich alle n " nicht aus?
Wieso? Also für mich persönlich ist dieses [mm] "$A_n$ [/mm] für schließlich alle n" irgendwie ne vollkommen unverständliche Aussage. Wenn du nichts von wegen Limes Inferior geschrieben hättest würde ich nie drauf kommen, was damit gemeint sein könnte.
Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Schließen sich denn dieses " bis auf endlich viele m "
> und das " für schließlich alle n " nicht aus?
Nein, sie sagen genau das gleiche aus.
* "fuer schliesslich alle $n$" bedeutet, dass es ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass fuer alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] die Aussage gilt. Die Aussage gilt also hoechstens fuer endlich viele $n$ nicht.
* "bis auf endlich viele $n$" bedeutet, dass es endlich viele $n$ gibt, fuer die die Aussage nicht gilt. Nimmt man [mm] $n_0$ [/mm] als das Maximum dieser $n$ plus 1, so gilt fuer alle $n [mm] \ge n_0$, [/mm] dass die Aussage gilt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Irmchen |
Vielen lieben Dank für alle Beiträge! 
Jetzt sind all meine Problemchen diesbezüglich gelöst!
Danke!
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend nochmal!
Ich habe hier etwas ähnliches, was zum Thema Limes Superior passt...
Jetzt weiß ich durch die vielen Beiträge, wie ich den limsup bei Mengen zu verstehen habe, aber wie ist das mit der folgenden Aussage:
Ich habe hier den Datensatz [mm] X = ( X_1, ... , X_n ) [/mm] und ich teste gleichzeitig s Nullhypothesen [mm] H_i [/mm] auf der Basis von X mit Hilfe des p -Werte.
So und dann steht da die folgende Aussage:
[mm] \limsup_{n \to \infty} P \{ p_{n,i} \le u \} \le u [/mm] [mm] u \in ( 0,1 ) [/mm]
wobei [mm] p_{n,i} [/mm] einen p -Wert für [mm] H_i [/mm] bezeichnet.
Wie kann ich mir diesen Limes Superior von P vorstellen? Alss eine Folge von Werten?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe hier etwas ähnliches, was zum Thema Limes
> Superior passt...
Naja, nicht wirklich. Deine bisherige Frage drehte sich um den Limes Superior von Mengenfolgen. Deine jetztige Frage dreht sich um den Limes Superior von reellen Zahlenfolgen.
> Jetzt weiß ich durch die vielen Beiträge, wie ich den
> limsup bei Mengen zu verstehen habe, aber wie ist das mit
> der folgenden Aussage:
>
> Ich habe hier den Datensatz [mm]X = ( X_1, ... , X_n )[/mm] und ich
> teste gleichzeitig s Nullhypothesen [mm]H_i[/mm] auf der Basis von
> X mit Hilfe des p -Werte.
>
> So und dann steht da die folgende Aussage:
>
> [mm]\limsup_{n \to \infty} P \{ p_{n,i} \le u \} \le u[/mm] [mm]u \in ( 0,1 )[/mm]
>
> wobei [mm]p_{n,i}[/mm] einen p -Wert für [mm]H_i[/mm] bezeichnet.
>
> Wie kann ich mir diesen Limes Superior von P vorstellen?
> Alss eine Folge von Werten?
Der Limes Superior ist der groesste Haeufungswert der Zahlenfolge $( [mm] P(p_{n,i} \le [/mm] u) [mm] )_{n \in \IN}$.
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LG Felix
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