lim sup u. lim inf einer folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe die Aufgabe, zu einer Zahlenfolge den limes superior und inferior zu ermitteln. das hat bei 2 folgen auch schon ganz einfach geklappt, aber bei dieser habe ich gestern mit einer kommulitonin nicht weiter gewusst.
also die zahlenfolge ist rekursiv angegeben (oder? wir hatten das noch nicht...) durch
[mm] {x_n}:= 4x_1 [/mm] = 1
[mm] 4x_{k-1}=1+4x_k^2
[/mm]
so, nun haben wir die ersten folgeglieder berechnet, soweit unser taschenrechner das mitgemacht hat, also die ersten 3:
x1= 1/4
x2= 5/16
x3= 89/256
wir dachten uns nun, dass wir versuchen, eine explizite bildungsvorschrift für diese folge zu finden. wir haben erkannt, dass [mm] 16=4^2 [/mm] und [mm] 256=16^2, [/mm] aber zwischen der 1, 5 und 89 sehen wir keinen zusammenhang...
also bei den anderen aufgaben sollten wir die ganze folge immer in konvergente teilfolgen zerlegen, deswegen würden wir das hier auch gerne tun.
ist denn der ansatz, eine explizite bildungsvorschrift zu finden, erstmal richtig, oder kann man die grenzwerte auch direkt mit der rekursiven ermitteln?
wenn ja, wie gehe ich an diese sache ran?
und wenn ich doch die explizite bildungsvorschrift brauche, haben 1,5 und 89 einen zusammenhang oder müssen wir da anders rangehen als das ganze auszurechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe die Aufgabe, zu einer Zahlenfolge den limes
> superior und inferior zu ermitteln. das hat bei 2 folgen
> auch schon ganz einfach geklappt, aber bei dieser habe ich
> gestern mit einer kommulitonin nicht weiter gewusst.
>
> also die zahlenfolge ist rekursiv angegeben (oder? wir
> hatten das noch nicht...) durch
>
> [mm] {x_n}:=\begin{cases} 4x_1= 1, & \mbox{ } \mbox{ } \\ 4x_{k-1}=1+4x_k^2, & \mbox{für } k\ge 2 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
>
> so, nun haben wir die ersten folgeglieder berechnet, soweit
> unser taschenrechner das mitgemacht hat, also die ersten
> 3:
>
> x1= 1/4
> x2= 5/16
> x3= 89/256
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ihr habt die Folgenglieder verkehrt berechnet.
Wenn ich Euer [mm] x_2 [/mm] (k=2) in [mm] 1+4x_k^2 [/mm] einsetze, müßte ich ja als Ergebnis 1 erhalten. Das ist aber nicht der Fall:
[mm] 1+4x_2^2=1+4*(\bruch{5}{16)^2}>1.
[/mm]
Ich bekomme [mm] x_2=0,
[/mm]
und ein drittes Folgenglied überhaupt nicht mehr.
Eventuell wäre es nützlich, würdest Du die Aufgabenstellung mal im kompletten Wortlaut posten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Fr 23.11.2007 | | Autor: | die_conny |
Okay also die Aufgabenstellung:
Sei n Element von N (nat. Zahlen ohne null). Ermitteln Sie den Limes superior und den Limes inferior der Zahlenfolgen:
... (wie gesagt die ersten 2 haben wir schon ;) )
{xn}n element N := 4x1=1
4x(k+1) = 1+ [mm] 4(xk)^2
[/mm]
(mit x(k+1) meine ich den nachfolger von xk, falls das undeutlich ist ;) )
ich habe vorhin leider x(k-1) geschrieben, sorry, da habe ich mich vertippt ... hoffe, das bereitet nicht allzu große probleme....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 23.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay also die Aufgabenstellung:
>
> Sei n Element von N (nat. Zahlen ohne null). Ermitteln Sie
> den Limes superior und den Limes inferior der
> Zahlenfolgen:
>
> ... (wie gesagt die ersten 2 haben wir schon ;) )
>
> {xn}n element N := 4x1=1
> 4x(k+1) = 1+ [mm]4(xk)^2[/mm]
>
>
> (mit x(k+1) meine ich den nachfolger von xk, falls das
> undeutlich ist ;) )
Also anders geschrieben:
[mm]x_1 = \bruch{1}{4}[/mm], [mm] \quad[/mm] [mm] x_{k+1} = \bruch{1}{4} + x_k^2[/mm].
Tipp: versuche mal, Monotonie und Beschränktheit zu untersuchen, zum Beispiel, indem du [mm]x_{k+1} -x_k[/mm] berechnest.
Viele Grüße
Rainer
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so jetzt habe ich nochmal meine folgelieder nachgerechnet und ich denkie, sie müssten so stimmen, wie ich sie geschrieben habe.
also
x1=1/4
x2=5/16
x3=89/256
tut mir echt leid, dass ich mich vorhin vertippt hab...
aber an sich bin ich ja jetzt noch nicht wirklich weiter...
also ich kann erstmal aus den folgegliedern gar nicht erkennen, dass es da teilfolgen geben soll, sieht für mich eher aus, als würde die folge monoton steigen. also denke ich mal ,dass der limes inferior ja gar nicht existiert, wenn ich keine teilfolge habe, die gegen einen kleineren grenzwert geht? oder gilt dann lim sup = lim inf?
und das größte folgeglied, nunja, ich schätze mal, dass das ganze entweder gegen 0,5 oder 0,4 doer 1 strebt, oder es geht halt bis unendlich...
nur weiß ich nicht, wie ich die monotonie nachweisen soll, ohne explizite bildungsvorschrift?
und ich weiß halt auch nicht, wie ich eine aussage über das verhalten der folge gegen unendlich machen soll ?
hab probleme mit diesem rekursiven...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Fr 23.11.2007 | | Autor: | die_conny |
so, die monotonie habe ich jetzt gezeigt.
steigt streng monoton ;)
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> also
> x1=1/4
> x2=5/16
> x3=89/256
Hallo,
nachdem Du die Monotonie nachgewiesen hast, würde ich mich über die Beschränktheit hermachen.
Mein Taschenrechner gibt da nur sehr zögerlich Auskunft, aber es gibt Indizien dafür, daß die Folge, wie Du auch schon vermutest, durch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] beschränkt ist.
Wenn Du das nachgewiesen hast, weißt Du, daß sie konvergiert, und dann ist der lim sup = lim inf.
Gruß v. Angela
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also, ich habe jetzt probiert, die beschränktheit zu zeigen.
habe diesen ansatz:
betrag von 1/4 + [mm] x(k-1)^2 [/mm] = 1/4 + [mm] x(k-1)^2.
[/mm]
so und nun weiß ich, dass ich zeigen muss, dass das kleiner als 1/2 ist.
das heißt 1/4 > [mm] x(k-1)^2
[/mm]
so nun weiß ich noch, dass
x(k-1) = 1/4 + [mm] x(k-2)^2 [/mm]
aber wenn ich das einsetze und quadriere komme ich auch nicht wirklich weiter...
gibt es vielleicht doch eine möglichkeit, das ganze in eine explizite bildungsvorschrift zu packen?
habe es schon probiert mit xn=1/4 + [mm] (n^2 +1)/n^4 [/mm] aber das klappt nicht...
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> also, ich habe jetzt probiert, die beschränktheit zu
> zeigen.
Mach das doch mit vollständiger Induktion.
Zeige zuvor, daß alle [mm] a_n\ge [/mm] 0 sind.
Gruß v. Angela
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Also, ich denke, dass ich die antwort jetzt habe, würdem ich aber freuen, wenn jemand nochmal schauen würde, ob das so in ordnung ist.
also hier mein vollständiger lösungsweg:
[mm] 4x(k+1)=1+4(xk)^2 \Rightarrow [/mm] x(k+1)=1/4 + [mm] (xk)^2
[/mm]
Monotonie:
x(k+1) = 1/4 + [mm] (xk)^2
[/mm]
x(k+2) = 1/4 + [mm] (x(k+1))^2
[/mm]
x(k+2) - x(k+1) = 1/4 + [mm] (x(k+1))^2 [/mm] - 1/4 - [mm] (xk)^2
[/mm]
= (1/4 + [mm] (xk)^2) [/mm] - [mm] (xk)^2 [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] {xn} ist streng monoton steigend
Beschränktheit:
Behauptung:
für alle k Element N (natürl. Zahlen ohne null) gilt:
xk Element von {xn} < 1/2
Beweis durch vollst. Induktion:
induktionsanfang:
k=1 : x1 = 1/4 < 1/2 (w)
induktionsschritt:
für alle k element N gilt : xk < 1/2
[mm] \Rightarrow [/mm] x(k+1) < 1/2
direkter Beweis der Induktionsbehauptung:
x(k+1) = 1/4 + [mm] (xk)^2 [/mm] < (laut induktionsvorraussetzung)
1/4 + [mm] (1/2)^2 [/mm] = 1/4 + 1/4 = 1/2
q.e.d.
Die Folge {xn} ist streng monoton steigend. Sie lässt sich nicht in konvergente Teilfolgen zerlegen, sondern konvergiert gegen genau 1 Wert. Dieser Wert ist 1/2, da {xn} streng monoton steigt und durch 1/2 nach oben beschränkt ist.
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] xn = lim inf xn = lin sup xn = 1/2
So, das ist meine Lösung. ist das so in ordnung oder sollte ich daran noch was ändern?
Danke schonmal für die Hilfe,
die_conny
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> Also, ich denke, dass ich die antwort jetzt habe, würdem
> ich aber freuen, wenn jemand nochmal schauen würde, ob das
> so in ordnung ist.
>
> also hier mein vollständiger lösungsweg:
>
> [mm]4x(k+1)=1+4(xk)^2 \Rightarrow[/mm] x(k+1)=1/4 + [mm](xk)^2[/mm]
>
> Monotonie:
Hallo,
prinzipiell solltest Du erstmal aufschreiben, was Du zu zeigen gedenkst.
Auch so "Kleinigkeiten" wie die Angabe, für welche k das gelten soll (für alle? einige? eins?) sind nicht überflüssig.
Ich nehme mal an, Du meinst hier: für alle k [mm] \in \IN.
[/mm]
> x(k+1) = 1/4 + [mm](xk)^2[/mm]
>
> x(k+2) = 1/4 + [mm](x(k+1))^2[/mm]
>
> x(k+2) - x(k+1) = 1/4 + [mm](x(k+1))^2[/mm] - 1/4 - [mm](xk)^2[/mm]
> = (1/4 + [mm](xk)^2)[/mm] - [mm](xk)^2[/mm] > 0
Hier hast Du offensichtlich ein Quadrat vergessen, das soll sicher heißen ... = (1/4 + [mm](xk)^2)[/mm] - [mm](xk)^2[/mm].
Die darauffolgende Abschätzung ist für mich noch nicht überzeugend. Warum ist der Ausdruck >0 ?
Das müßtest Du mir noch plausibel machen.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] {xn} ist streng monoton steigend
>
>
> Beschränktheit:
>
> Behauptung:
>
> für alle k Element N (natürl. Zahlen ohne null) gilt:
>
> xk Element von {xn} < 1/2
>
> Beweis durch vollst. Induktion:
>
> induktionsanfang:
>
> k=1 : x1 = 1/4 < 1/2 (w)
>
> induktionsschritt:
>
> für alle k element N gilt : xk < 1/2
> [mm]\Rightarrow[/mm] x(k+1) < 1/2
>
>
> direkter Beweis der Induktionsbehauptung:
>
> x(k+1) = 1/4 + [mm](xk)^2[/mm] < (laut induktionsvorraussetzung)
> 1/4 + [mm](1/2)^2[/mm] = 1/4 + 1/4 = 1/2
>
> q.e.d.
Die Induktion wäre in Ordnung, hättest Du zuvor gezeigt, daß alle Folgenglieder [mm] \ge [/mm] 0 sind. (Du kannst das ja noch machen.)
Andernfalls stimmt diese Folgerung nicht:
1/4 + $ [mm] (xk)^2 [/mm] $ < (laut induktionsvorraussetzung)
1/4 + $ [mm] (1/2)^2 [/mm] $
Wenn z.B. [mm] x_k=-100 [/mm] wäre...
>
>
> Die Folge {xn} ist streng monoton steigend. Sie lässt sich
> nicht in konvergente Teilfolgen zerlegen,
Doch. Ich kann die nach Herzenslust in konvergente Teilfolgen zerlegen, da fielen mir ganz viele ein!
> sondern
> konvergiert gegen genau 1 Wert.
Schreib: die Folge ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, daher nach Satz ... konvergent.
Also konvergieren alle Teilfolgen gegen den Grenzwert der Folge.
> Dieser Wert ist 1/2, da
> {xn} streng monoton steigt und durch 1/2 nach oben
> beschränkt ist.
Daß der Grenzwert [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, stimmt zwar, aber das wurde bisher nicht gezeigt.
Die obere Schranke ist ja nicht unbedingt der Grenzwert.
Du mußt also noch irgendwie zeigen, daß [mm] \bruch{1}{2} [/mm] der Grenzwert ist.
Kennst Du den "Trick", wie man das mit der Rekursionsformel macht?
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] xn = lim inf xn =
> lin sup xn = 1/2
Ja, wenn Du gezeigt hättest, daß [mm] \bruch{1}{2} [/mm] der Grenzwert ist, könntest Du das so schreiben.
Gruß v. Angela
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nein, weiß leider nicht, wie man das mit der rekusionsformel macht. hab keine ahnung, wie ich zeigen soll, dass 1/2 der grenzwert ist.... hm.....
wie geht denn die rekursionsformel? wenn ich nen ansatz hab, dann kann ich es vielleicht...
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> nein, weiß leider nicht, wie man das mit der
> rekusionsformel macht. hab keine ahnung, wie ich zeigen
> soll, dass 1/2 der grenzwert ist.... hm.....
>
> wie geht denn die rekursionsformel?
Na, die Formel kennst Du ja: [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{4}+a_n^2.
[/mm]
Nun hast Du gezeigt, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert. Nennen wir den Grenzwert g.
Dann ist natürlich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}= \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{4}+a_n^2)
[/mm]
==> [mm] g=\bruch{1}{4}+g^2,
[/mm]
und durch Lösen dieser Gleichung erhältst Du den Grenzwert.
Das ist ein "Trick", der Dir noch öfter begegnen wird. Merken.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Fr 23.11.2007 | | Autor: | die_conny |
Danke angela für die schnelle hilfe!
der trick ist nicht schlecht, werde das morgen gleich mal probieren, denke, dann werd ichs hinkriegen ;)
die_conny
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