lim sup und lim inf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Folge [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] reeller Zahlen sei definiert als
[mm] b_{n}:= \bruch{1+ (-1)^{n} n^2}{2+3n+n^2} [/mm] , [mm] n\in \IN.
[/mm]
Berechnen Sie lim sup [mm] b_{n} [/mm] und lim inf [mm] b_{n} [/mm] |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gelöst bin mir aber nicht sicher ob noch was fehlt oder ob das vollständig genug ist.
Zunächst habe ich mir 2 Teilfolgen von [mm] b_{n} [/mm] bestimmt und denn geguckt wo gegen diese konvergieren. Denn diese Punkte bilden doch gleichzeitig Häufungspunkte von [mm] b_{n} [/mm] oder?
also habe ich mir zunächst mal [mm] b_{n} [/mm] vereinfacht zu [mm] b_{n}:= \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+ (-1)^{n}}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
[/mm]
Nun habe ich sup und inf wie folgt bestimmt:
sup [mm] {a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Nun wissen wir, dass lim [mm] (\bruch{1}{n})=0 [/mm] ist und somit folgt lim sup =1
Für inf folgt analog
inf [mm] {a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
und somit folgt lim inf=-1.
Dies folgt, weil die Teilfolgen jeweisl gegen +1 bzw -1 konvergieren und somit Häufungspunkte von [mm] b_{n} [/mm] bilden. Da wir bereits in Aufgabe xy gezeigt haben das die Folgen gegen +1 und -1 divergiert, folgt bereits das +1 größter Häufungspunkt ist und somit per Definition lim sup ist und -1 kleinster Häufungspunkt und deshalb inf [mm] b_{n} [/mm] bildet.
reicht das so?..oder muss ich noch an einer Stelle eine Begründung oder einen Verweis liefern?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Eine Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] reeller Zahlen sei definiert
> als
> [mm]b_{n}:= \bruch{1+ (-1)^{n} n^2}{2+3n+n^2}[/mm] , [mm]n\in \IN.[/mm]
>
> Berechnen Sie lim sup [mm]b_{n}[/mm] und lim inf [mm]b_{n}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe gelöst bin mir aber nicht sicher ob
> noch was fehlt oder ob das vollständig genug ist.
> Zunächst habe ich mir 2 Teilfolgen von [mm]b_{n}[/mm] bestimmt und
> denn geguckt wo gegen diese konvergieren. Denn diese Punkte
> bilden doch gleichzeitig Häufungspunkte von [mm]b_{n}[/mm] oder?
In Deinem Fall trifft das zu, weil Du die Teilfolgen [mm] (b_{2k}) [/mm] und [mm] (b_{2k-1}) [/mm] betrachtest.
>
> also habe ich mir zunächst mal [mm]b_{n}[/mm] vereinfacht zu
> [mm]b_{n}:= \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+ (-1)^{n}}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}[/mm]
>
Gute Idee
> Nun habe ich sup und inf wie folgt bestimmt:
>
> sup [mm]{a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Das ist ja Quarkschreibweise !!
>
> Nun wissen wir, dass lim [mm](\bruch{1}{n})=0[/mm] ist und somit
> folgt lim sup =1
>
> Für inf folgt analog
>
> inf [mm]{a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
Ebenso Quark !
>
> und somit folgt lim inf=-1.
> Dies folgt, weil die Teilfolgen jeweisl gegen +1 bzw -1
> konvergieren und somit Häufungspunkte von [mm]b_{n}[/mm] bilden. Da
> wir bereits in Aufgabe xy gezeigt haben das die Folgen
> gegen +1 und -1 divergiert, folgt bereits das +1 größter
> Häufungspunkt ist und somit per Definition lim sup ist und
> -1 kleinster Häufungspunkt und deshalb inf [mm]b_{n}[/mm] bildet.
Es gilt: [mm] (b_{2k}) [/mm] konvergiert gegen 1 und [mm] (b_{2k-1}) [/mm] konvergiert gegen -1. Somit hat [mm] (b_n) [/mm] genau die Häufungspunkte 1 und -1
FRED
>
>
> reicht das so?..oder muss ich noch an einer Stelle eine
> Begründung oder einen Verweis liefern?
>
> LG Schmetterfee
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> > Eine Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] reeller Zahlen sei definiert
> > als
> > [mm]b_{n}:= \bruch{1+ (-1)^{n} n^2}{2+3n+n^2}[/mm] , [mm]n\in \IN.[/mm]
>
> >
> > Berechnen Sie lim sup [mm]b_{n}[/mm] und lim inf [mm]b_{n}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ich habe die Aufgabe gelöst bin mir aber nicht sicher ob
> > noch was fehlt oder ob das vollständig genug ist.
> > Zunächst habe ich mir 2 Teilfolgen von [mm]b_{n}[/mm] bestimmt
> und
> > denn geguckt wo gegen diese konvergieren. Denn diese Punkte
> > bilden doch gleichzeitig Häufungspunkte von [mm]b_{n}[/mm] oder?
>
>
> In Deinem Fall trifft das zu, weil Du die Teilfolgen
> [mm](b_{2k})[/mm] und [mm](b_{2k-1})[/mm] betrachtest.
>
> >
> > also habe ich mir zunächst mal [mm]b_{n}[/mm] vereinfacht zu
> > [mm]b_{n}:= \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+ (-1)^{n}}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}[/mm]
>
> >
>
>
> Gute Idee
>
>
>
> > Nun habe ich sup und inf wie folgt bestimmt:
> >
> > sup [mm]{a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Das ist ja Quarkschreibweise !!
Hallo..
wieso ist das Quark?...wir hatten das in der Vorlesung an einem Beispiel so gemacht und von daher dachte ich das es allgemein gültig wäre... wie schreibt man das denn sonst?
LG Schmetterfee
> >
> > Nun wissen wir, dass lim [mm](\bruch{1}{n})=0[/mm] ist und somit
> > folgt lim sup =1
> >
> > Für inf folgt analog
> >
> > inf [mm]{a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Ebenso Quark !
> >
> > und somit folgt lim inf=-1.
> > Dies folgt, weil die Teilfolgen jeweisl gegen +1 bzw -1
> > konvergieren und somit Häufungspunkte von [mm]b_{n}[/mm] bilden. Da
> > wir bereits in Aufgabe xy gezeigt haben das die Folgen
> > gegen +1 und -1 divergiert, folgt bereits das +1 größter
> > Häufungspunkt ist und somit per Definition lim sup ist und
> > -1 kleinster Häufungspunkt und deshalb inf [mm]b_{n}[/mm] bildet.
>
>
> Es gilt: [mm](b_{2k})[/mm] konvergiert gegen 1 und [mm](b_{2k-1})[/mm]
> konvergiert gegen -1. Somit hat [mm](b_n)[/mm] genau die
> Häufungspunkte 1 und -1
>
>
> FRED
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> >
> > reicht das so?..oder muss ich noch an einer Stelle eine
> > Begründung oder einen Verweis liefern?
> >
> > LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Eine Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm] reeller Zahlen sei definiert
> > > als
> > > [mm]b_{n}:= \bruch{1+ (-1)^{n} n^2}{2+3n+n^2}[/mm] , [mm]n\in \IN.[/mm]
>
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> > >
> > > Berechnen Sie lim sup [mm]b_{n}[/mm] und lim inf [mm]b_{n}[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe die Aufgabe gelöst bin mir aber nicht sicher ob
> > > noch was fehlt oder ob das vollständig genug ist.
> > > Zunächst habe ich mir 2 Teilfolgen von [mm]b_{n}[/mm]
> bestimmt
> > und
> > > denn geguckt wo gegen diese konvergieren. Denn diese Punkte
> > > bilden doch gleichzeitig Häufungspunkte von [mm]b_{n}[/mm] oder?
> >
> >
> > In Deinem Fall trifft das zu, weil Du die Teilfolgen
> > [mm](b_{2k})[/mm] und [mm](b_{2k-1})[/mm] betrachtest.
> >
> > >
> > > also habe ich mir zunächst mal [mm]b_{n}[/mm] vereinfacht zu
> > > [mm]b_{n}:= \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+ (-1)^{n}}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}[/mm]
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> >
> > Gute Idee
> >
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> >
> > > Nun habe ich sup und inf wie folgt bestimmt:
> > >
> > > sup [mm]{a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1}
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
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> >
> > Das ist ja Quarkschreibweise !!
>
> Hallo..
>
> wieso ist das Quark?...wir hatten das in der Vorlesung an
> einem Beispiel so gemacht und von daher dachte ich das es
> allgemein gültig wäre... wie schreibt man das denn
> sonst?
$ [mm] b_n =\begin{cases} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}-1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1} , & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1} , & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] $
FRED
>
> LG Schmetterfee
> > >
> > > Nun wissen wir, dass lim [mm](\bruch{1}{n})=0[/mm] ist und somit
> > > folgt lim sup =1
> > >
> > > Für inf folgt analog
> > >
> > > inf [mm]{a_{k}: k \ge n} =\begin{cases} -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ -(\bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1})
, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Ebenso Quark !
> > >
> > > und somit folgt lim inf=-1.
> > > Dies folgt, weil die Teilfolgen jeweisl gegen +1 bzw
> -1
> > > konvergieren und somit Häufungspunkte von [mm]b_{n}[/mm] bilden. Da
> > > wir bereits in Aufgabe xy gezeigt haben das die Folgen
> > > gegen +1 und -1 divergiert, folgt bereits das +1 größter
> > > Häufungspunkt ist und somit per Definition lim sup ist und
> > > -1 kleinster Häufungspunkt und deshalb inf [mm]b_{n}[/mm] bildet.
> >
> >
> > Es gilt: [mm](b_{2k})[/mm] konvergiert gegen 1 und [mm](b_{2k-1})[/mm]
> > konvergiert gegen -1. Somit hat [mm](b_n)[/mm] genau die
> > Häufungspunkte 1 und -1
> >
> >
> > FRED
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> > >
> > > reicht das so?..oder muss ich noch an einer Stelle eine
> > > Begründung oder einen Verweis liefern?
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> > > LG Schmetterfee
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Danke schön für die Hilfe...so sieht es echt besser aus....
LG Schmetterfee
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> [mm]b_n =\begin{cases} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}-1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1} , & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ \bruch{\bruch{1}{n^{2}}+1}{\bruch{2}{n^{2}}+ \bruch{3}{n}+1} , & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
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>
> FRED
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Hallo
ich habe mir das nochmal überlegt wenn ich das so schreibe kann ich dann einfach sagen sup ist die Folge der geraden Glieder und inf der Ungeraden? oder wie schreib ich das denn weiter auf?
LG Schmetterfee
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Hallo,
mach's so, wie bereits vorgeschlagen.
Schreibe die beiden Teilfolgen für gerades und ungerades n hin, also
[mm](b_{2k})_{k\in\IN}=...[/mm] und [mm](b_{2k+1})_{k\in\IN}=...[/mm]
Die beiden TF-Grenzwerte hast du ausgerechnet, das sind deine [mm]\limsup[/mm] und [mm]\liminf[/mm]
[mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] ist durch diese beiden TF vollst. erfasst (oder abgedeckt). Es kann also keine weiteren HP geben.
Gruß
schachuzipus
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