lim(x->oo)(1/x^(x-1)) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Mi 04.08.2004 | | Autor: | El-Nolzo |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo allerseits!
Ich habe noch eine Frage zu einem Grenzwert:
lim(x->oo)(1/x^(x-1))=0
ist meine Lsg., vorgeschlagen wird mir 1 als Lsg..
Meine Umformung:
1/x^(x-1)=x^(1-x)=e^((1-x)lnx)
und dabei geht meines Erachtens der Term des Exponenten für x->oo gegen -oo, woraus folgt: e^-oo=0.
Wer hat denn nun recht?
Gruß,
Mecki!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Mi 04.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi mecki
mit genau der selben rechnung wie du komme ich zum selben resultat wie du:
[m] \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^{x-1}} = \lim_{x \to \infty} x^{1-x} = \lim_{x \to \infty} \exp((1-x) \ln(x)) } [/m]
wegen [m] \lim_{x \to \infty} (1-x) \ln(x) = - \infty [/m] erhälst du mit der stetigkeit der e-funktion
[m] \displaystyle{\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^{x-1}} = 0 } [/m]
also hast du recht und nicht "die lösung"!
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi ihr beide.
Ist das eine Regel, dass man bei der Grenzqertbildung der Exponentialfunktion nur das Argument betrachten darf? Wenn ja, vondm ist sie?
Gruß,
Hanno
PS: Mecki, dein Buch ist echt klasse ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mi 04.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Hanno
das ist eine grundlegende eigenschaft - in manchen fällen auch die definition - von stetigen funktionen $f$, dass gilt:
$$ [mm] \displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x) = f \left( \lim_{x \to x_0} x \right) = f(x_0)} [/mm] $$
also dass man funktionsauswertung und grenzwertbildung vertauschen darf.
das kann man sich anschaulich auch halbwegs gut klar machen. da der graph von $f$ in punkten, in denen $f$ stetig ist keinen sprung macht ist es egal, ob man auf der $x$-achse läuft und erst an der stelle [mm] $x_0$ [/mm] schaut was die funktion macht, oder ob man sich auf dem graph der stelle [mm] $x_0$ [/mm] nähert. man wird beim selben punkt landen.
anders ist dies bei unstetigen funktionen, z.b.:
[mm] \theta (x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0 \end{cases} [/mm]
wertest du die funktion im punkt [mm] $x_0 [/mm] = 0$ aus, so erhälst du [mm] $\theta(0) [/mm] = 1$, näherst du dich aber von links mit $x$, so erhälst du egal wie nah dein $x$ an 0 liegt so lange es nur kleiner als 0 ist immer [mm] $\theta(x) [/mm] = 0$ und damit insgesamt
[m] \displaystyle{1 = \theta(0) = \theta \left( \lim_{x \to 0} x \right) \not= \lim_{x \to 0-} \theta (x) = 0} [/m]
wobei [mm] $\lim_{x \to 0-}$ [/mm] den linksseitigen grenzwert bezeichnen soll. insbesondere existiert der grenzwert
$$ [mm] \displaystyle{ \lim_{x \to 0} \theta(x) } [/mm] $$
gar nicht, da links- und rechtsseitiger grenzwert unterschiedlich sind.
vielleicht etwas klarer geworden, sonst frage einfach nochmal nach.
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Andreas.
Ja, ist klar geworden, vielen Dank!
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Do 05.08.2004 | | Autor: | El-Nolzo |
Hallo Andreas!
Danke für Deine Mühe. Aber bitte keine Bemerkungen über mein Mathebuch, sie können leider nur treffend sein. Hab´ mich nämlich selbst schon genug geärgert.
Gruß,
Mecki!
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