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| Aufgabe | zeigen sie, dass die rekursiv definierte folge an konvergiert und bestimmen sie ihren grenzwert.
ao:=1, a1:=10 an+1:= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( an + an+1 ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also ich hab gezeigt, dass die folge konvergiert, allerdings weiß ich nicht wie man den grenzwert bestimmt. durch probieren weiß ich dass der grenzwert bei
(2/3) * a1 + (1/3) * a0 liegt. weiss jemand wie ich das beweisen kann?
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Hallo Julian,
benutze doch bitte unseren Formeleditor oder setze Klammern, man kann gar nicht vernünftig erkennen, was nun Indizes sind und was nicht
> zeigen sie, dass die rekursiv definierte folge an
> konvergiert und bestimmen sie ihren grenzwert.
>
> ao:=1, a1:=10 an+1:= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * ( an + an+1 )
Wie kann denn [mm] $a_{n+1}$ [/mm] durch [mm] $a_{n+1}$ [/mm] rekursiv definiert sein???
Da steht ja außerdem nix anderes als [mm] $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}a_{n+1}$, [/mm] also [mm] $a_{n+1}=a_n$
[/mm]
Das wäre die konstante Folge [mm] $a_n=10$ [/mm] (die natürlich trivialerweise konvergent ist)
Oder steht in der Rekursion etwa [mm] $a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+a_n+1)=a_n+\frac{1}{2}$ [/mm] ??
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> also ich hab gezeigt, dass die folge konvergiert,
> allerdings weiß ich nicht wie man den grenzwert bestimmt.
> durch probieren weiß ich dass der grenzwert bei
> (2/3) * a1 + (1/3) * a0 liegt. weiss jemand wie ich das
> beweisen kann?
Naja, wie die Folge nun genau aussieht, kannst nur du sagen, aber wenn du Monotonie und Beschränktheit nachgewiesen hast (und damit Konvergenz), kannst du den GW so bestimmen:
Es ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$
[/mm]
Das kannst du "einsetzen" und nach $a$ auflösen ...
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | zeigen sie dass die rekursiv definierte folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert und bestimmen sie ihren grenzwert
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2}*(a_{n}+a_{n-1}) [/mm] |
sorry, hab mich verschrieben, naja also ich hab die konvergenz bewiesen indem ich gezeigt hab, dass [mm] |a_{n}-a_{n+1}| [/mm] > [mm] |a_{n+1}-a_{n+2}|, [/mm] reicht das für die konvergenz? das mit dem grenzwert bekomm ich nicht wirklich hin.
danke schonmal
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> zeigen sie dass die rekursiv definierte folge [mm]a_{n}[/mm]
> konvergiert und bestimmen sie ihren grenzwert
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> [mm]a_{n+1}=\bruch{1}{2}*(a_{n}+a_{n-1})[/mm]
> sorry, hab mich verschrieben, naja also ich hab die
> konvergenz bewiesen indem ich gezeigt hab, dass
> [mm]|a_{n}-a_{n+1}|[/mm] > [mm]|a_{n+1}-a_{n+2}|,[/mm] reicht das für die
> konvergenz? das mit dem grenzwert bekomm ich nicht wirklich
> hin.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, daß [mm] |a_{n}-a_{n+1}> |a_{n+1}-a_{n+2}| [/mm] gilt, reicht nicht.
Gegenbeispiel
[mm] a_n:=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}, [/mm] die harmonische Reihe, welche nicht konvergiert.
Gruß v. Angela
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Es soll wohl
[mm]a_{n+2} = \frac{1}{2} \left( a_{n+1} + a_n \right)[/mm]
heißen. Leider funktioniert der von schachuzipus gemachte Vorschlag nicht, da er, falls [mm]\alpha[/mm] der Grenzwert ist, nur die triviale Beziehung [mm]\alpha = \alpha[/mm] liefert.
Du könntest versuchen, die rekursive Beziehung
[mm]a_{n+1} = a_1 + \frac{1}{2} a_0 - \frac{1}{2} a_n[/mm]
herzuleiten. Damit kommst du weiter. Oder du zeigst die explizite Darstellung
[mm]a_n = \frac{1}{3} \left( a_0 + 2a_1 \right) + \frac{2}{3} \left( a_0 - a_1 \right) \cdot \left( - \frac{1}{2} \right)^n[/mm]
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wie komme ich denn zu dieser expliziten darstellung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Fr 28.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. es fehlt in deiner Aufgabe die Angabe [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1
[/mm]
Wenn du die hast, zeichne mal die ersten paar Punkte auf dem Zahlenstrahl ein, damit du siehst, was passiert.
fuer die explizite formel schreibst du dir die ersten paar Glieder explizit hin. spaetestens bei [mm] a_6 [/mm] raetst du die Formel und dann vollst. Induktion.
Gruss leduart
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